Question

De la pregunta 2 ,¿a que distancia del centro del tunel la altura es 4 m?

Answer 1

Las coordenadas del foco de la parábola son las siguientes :  (Opción d)

$\boxed{ \bold { \left(0 , \frac{15}{2}\right) }}$

La distancia del centro del túnel para una altura de 4 metros es de 2,82 metros  (Opción c)

Procedimiento:

Tomamos como eje X la horizontal que define el túnel, y como eje Y el eje de simetría de la parábola

Luego se tiene a una parábola que tiene al eje Y como eje central

Vamos a encontrar el valor de “a” tomando puntos ya conocidos

Como sabemos que el ancho de la parábola en la base es de 8 metros, se divide el valor de esa magnitud en dos partes. Para el lado positivo del eje X y para el lado negativo de él

Teniendo luego como coordenadas en esos puntos (4,0) y (-4,0)

O lo que es lo mismo se conocen que las raíces de la parábola, es decir los puntos con que corta al eje X son 4 y -4

Por lo tanto se puede escribir la ecuación de la parábola como

$\boxed { \bold { y=a(x+4)(x-4)}}$

Sustituyendo

$\boxed{ \bold {8 =a(0+4)(0-4)}}$

$\boxed{ \bold {8 = -16\ a }}$

$\boxed{ \bold { a = -\frac{8}{16} }}$

$\boxed{ \bold { a = -\frac{1}{2} }}$

Hallando las coordenadas del foco de la parábola

Aquí estamos trabajando con una parábola con un eje de simetría vertical por lo tanto la coordenada en x del foco será la misma que la coordenada x del vértice

Donde el foco equivale a

$\boxed{ \bold { \left(h,k + \frac{1}{(4a)}\right) }}$

Donde

$\boxed{ \bold { h = 0, \ k = 8 \ y \ a = -\frac{1}{2} }}$

Reemplazando en

$\boxed{ \bold { \left(h,k + \frac{1}{(4a)}\right) }}$

$\boxed{ \bold { \left(8 - \frac{2}{4}\right) }}$

$\boxed{ \bold { \left(8 - \frac{1}{2}\right) }}$

$\boxed{ \bold { \frac{ 8 \ . 2 \ - 1 }{2}\ }}$

$\boxed{ \bold { \frac{ 16 \ - 1 }{2}\ }}$

$\boxed{ \bold { \frac{ 15 }{2}\ }}$

Las coordenadas del foco de la parábola son las siguientes :

$\boxed{ \bold { \left(0 , \frac{15}{2}\right) }}$

Hallando a que distancia del centro del túnel la altura es de 4 metros

Se trata de hallar el valor de “x” cuando “y” sea igual a 4

El vértice de la parábola es (0,8)

$\boxed {\bold { y=a(x-h)^2+k}}$

Luego podemos escribir

$\boxed{ \bold { 4=- \frac{1}{2} (x-0)^2+\ 8}}$

$\boxed{ \bold { 4=- \frac{1}{2} x^2+\ 8}}$

$\boxed{ \bold { -8 + 4 =- \frac{1}{2} x^2}}$

$\boxed{ \bold { -4 =- \frac{1}{2} x^2}}$

$\boxed{ \bold { x^2= -4 \ . \ -2}}$

$\boxed{ \bold { x^2= 8 }}$

$\boxed{ \bold { \sqrt{x^{2} } = \sqrt{8} }}$

$\boxed{ \bold { x = \sqrt{8} }}$

$\boxed {\bold {x= 2,82 \ metros}}$

La distancia del centro del túnel para una altura de 4 metros es de 2,82 metros