Question

Un corral limita por un lado con un rio, cada atardecer, entra el ganado al corral por un portillo A, va hasta el rio, abreva y luego penetra al pajar por una puerta B, casi todas las vacas realizan este ritual de forma automática, sin pensar.Pero entre ellas hay una vaca, un tanto perezosa, bastante dominante, y por tanto no es extraño que sea propensa a la eficiencia. Decide que la única forma sensata de llevar a cabo este ritual diario es minimizando el número de pasos. ¿cómo logra esto la vaca?

Answer 1

Respuesta: Para minimizar el número de pasos P debe ser (c/2 , 0)

Explicación paso a paso:

¡Hola! Pues te cuento que Matilde, la vaca un tanto perezosa de tu problema, decidió una noche reunir a todo el corral  y plantear lo siguiente:

- Queridas habitantes del corral, Tengo ampollas en las pezuñas de siempre tomar el camino más largo, además de que ya estoy vieja y me canso más que el resto, por tanto he ideado la solución para todas nosotras.

Sé que la distancia desde el portillo (A) al punto P del río  está dada por:

$\overline{AP} = \sqrt{a^2+x^2}$

Y que la distancia desde el río hasta el pajar se da por:

$\overline{PB} = \sqrt{b^2+(c-x)^2}$

Debemos hacer que la distancia sea mínima, por tanto, requerimos minimizar la función:      

$d = \overline{AP}+\overline{PB}$

De mis conocimientos de cálculo diferencial sé que la optimización de la suma de dos números positivos es equivalente a optimizar la suma de sus cuadrados, por lo tanto vamos a optimizar, para ahorrarnos el trabajo con radicales, la función:  

$f(x) = \overline{AP}^2+ \overline{PB}^2=a^2+x^2+b^2+(c-x)^2$

Derivando e igualando a cero:

 $\dfrac{df(x)}{dx} = 2x - 2(c-x)=0\\\\2x-2c+2x=0\\\\4x = 2c\\\\x=\dfrac{c}{2}$

-Y listo señoras vacas! A partir de ahora partiremos en línea recta desde el portón A hasta el punto medio del río (c/2 , 0), bebemos agua, y partimos hacia el pajar. De esa forma estaremos recorriendo la menor distancia.

Todas las vacas la aclamaron con energía, y quedaron sorprendidas con su discurso, porque llevaban años siendo vacas ineficientes en cuanto a la cantidad de pasos. Recorrían mayores distancia sin ningún sentido, así que, al día siguiente, comprobaron que Matilde tenía razón.

Desde entonces ya las vacas no caminan tanto y se sienten más tranquilas... ahora lo que alguna que otra sufre de diabetes por la falta de ejercicio.

Espero te haya ayudado!

Saludos, y acá estoy para lo que necesites!

JaimitoM