Question

4.- al rotar una vuelta completa La parte sombreada gráfica adjunta alrededor del eje PQ, encuentra a su volumen y su área lateral de un sólido generado

Answer 1

Para hallar el volumen se deben sumar 3 volúmenes diferentes

cono a la izquierda
cubo menos esfera al centro
cono a la derecha

Volumen cilindro = $Pi* radio^{2}altura = 3.1416 * 2^{2} *3 = 37.7 u^{3}$
Volumen casquete = volumen cubo - volumen esfera
Vcasquete = $( 8u)^{3} - \frac{4 Pi r^{3} }{3} = 512 u^{3} - \frac{4*3.1416* 4^{3} }{3} = 512 u^{3} - 268.1 u^{3} = 243.9 u^{3}$
Volumen cilindro = $\frac{Pi* radio^{2} altura}{3} = \frac{3.416* (2.5)^{2} * 3}{3} = 19.63 u^{3}$

Volumen total generado es 
37.7 u^{3} + 243.9 u^{3} + 19.63 u^{3} = 301.23 u^{3}

Area generada es

Area cilindro =$Pi* radio^{2} + 2(2 * Pi *radio) = 3.416 * (2u)^{2} + 2(2*3.1416*2)$
Acilindro = 12.56 u^{2}+25,13 u^{2} = 37.69  u^{2}

Area casquete = area cubo - area esfera = $6( d^{2} ) - 4 pi radio^{2} = 6( 8^{2} ) - 4*3.1416* 4^{2} = 384 - 201.06 = 182.94 u^{2}$

la generatriz es la hipotenusa o lado inclinado del cono, se calcula así..
$g^{2} = h^{2} + r^{2} = 2.5^{2} + 3^{2} = 15.25 u^{2}$
$g = \sqrt{15.25} = 3.9 u$
Acono = Pi*radio(generatriz+radio) = 3.1416*2.5(3.9+2.5) = 7.85(6.4) = 50.24 $u^{2}$

Area total = 37.69  u^{2} + 50.24  u^{2}+ 182.94 u^{2} = 270,87  u^{2}

Espero te sirva la explicación