Question

¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+1²)+(2+2²)+(3+3)+ ... +(2000+2000²)?

Answer 1

$\begin{matrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i+i^2) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i) + \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i^2) \\ \\ &=& \dfrac{2000(2001)}{2} + \dfrac{2000(2001)(2(2000)+1)}{6} \\ \\ &=& \dfrac{2000(2001)(4004)}{6} \\ \\ &=& 2670668000 \end{matrix}$

Respuesta: 2670668000

Answer 2

Vaya, he tenido que salir y veo que ya han resuelto tu ejercicio del modo que pensaba hacerlo... en fin,veamos otro modo de resolverlo, por inducción matemática:

los números son de la forma: n+n²

así:

1+1² = 1 , terminan en 2  ------------    la suma termina en 2
2+2² = 6 , termina en 6      -----------  2+ 6 = 8 , termina en 8
3+3² = 12, termina en 2    ------------ 8+ 2 = 10 , termina en 0
4+4² = 20, termina en 0    ------------ 10+ 0 = 10 , termina en 0
5+5² = 30, termina en 0    ----------   10 +0 = 10 , termina en 0
6+6² = 42, termina en 2    ----------    10+2 = 12 , termina en 2
7+7²=  56, termina en 6      --------    12+6 = 18 , termina en 8
8+8²= 72 , termina en 2    ----------- 18 + 2 = 20, termina en 0
9+9²= 90, termina en 0    ------------  20 + 0 = 20 , termina en 0
10+10²=110, termina en 0 ---------  20+ 0 = 20 , termina en 0
11+11²=132, termina en 2  ----------  20+2=22 , termina en 2
12+12²=156, termina en 6 ----------  22+6=28 , termina en 8
13+13²=182, termina en 2----------  28+ 2= 30 , termina en 0
14+14²=210, termina en 0 ---------- 30+0= 30 , termina en 0
15+15²=240, termina en 0 ---------  30 + 0 = 30, termina en 0
16+16²=272, termina en 2 ---------- 30+2= 32 , termina en 2

y así podria continuar buen rato, pero ¿lo has notado?

la última cifra de la suma de los términos de la serie dada por n+n², termina bajo la siguiente secuencia o patrón:

2,8,0,0,0

Ahora, en general, para determinar en qué cifra terminará la suma de los terminos para n = k debemos seguir los siguientes pasos:

k/5 ; cociente = c , residuo = r

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
         r = 2 → la última cifra será: 8
         r = 3 → la ultima cifra será: 0
         r = 4 → la ultima cifra será: 0
         r = 0 → la ultima cifra será: 0

Ahora bien, teniendo claro esto, resolvamos el ejercicio para n=2000

Solucion:

2000/5 : cociente = 400 , residuo = 0

de acuerdo con nuestra tablita:

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
         r = 2 → la última cifra será: 8
         r = 3 → la ultima cifra será: 0
         r = 4 → la ultima cifra será: 0
         r = 0 → la ultima cifra será: 0

como el residuo es 0, la última cifra (dígito de las unidades) será 0

Comentame si te ha gustado mi solución.

Saludos!!