Question

5.- Un globo esférico contiene originalmente $\frac{32 \pi }{3} cm$ de aire. Luego de inflarlo mas, se halla que su diámetro ha crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se incremento.

Answer 1

Hola :) .

Sería facil aplicar la fórmula del volumen de una esfera , pero solo nos dicen que el diámetro aumentó +2 , entonces el diámetro anterior pudo ser cualquiera , pero para eso nos dan el primer dato , para hallar el diámetro o radio de la esfera inicialmente , luego de eso calculamos el volumen con +2 ,

Nos dan el volumen inicial de la esfera , sabemos que el volumen de una esfera es :

$V_{esfera} = \frac{4\pi r^{3}}{3}$

Luego si igualamos el volumen de la esfera al dato que nos dan , tendremos como incógnita el radio y lo podemos despejar :

$\frac{32\pi}{3} = \frac{4\pi r^{3}}{3} \\ \\ 32 = 4r^{3} \\ \\ r^{3} = 8 \\ \\ r = \sqrt[3]{8} \\ \\ \boxed{r = 2 }$

Resultó que el radio del volumen inicial es 2 , ahora bien , nos dicen que el diámetro aumentó en 2 unidades , eso es lo mismo que decir que el radio aumentó en 1 unidad, acuerdate que el diámetro es dos veces el radio, con numeros sería así ,

$Si \ d = 2r \\ d + 2 = 2r + 2 \\ \\ d + 2 = (r + 1) + (r + 1)$

Entonces tenemos que calcular el volumen de una esfera con radio 3 :

$V_{esfera} = \frac{4 \pi 3^{3}}{3} \\ \\ V_{esfera} = 36\pi$

Nos piden cuanto volumen se incrementó , entonces necesitamos la diferencia de el volumen de la esfera de radio 3 y el volumen de la esfera de radio 2 :

$V_{esfera\ r=3} - V_{esfera \ r=2} \\ \\ 36\pi - \frac{32\pi}{3} \\ \\ \boxed{ \frac{76 \pi}{3}}$

Esa sería la respuesta,

Saludos :)