5.- Un globo esférico contiene originalmente
de aire. Luego de inflarlo mas, se halla que su diámetro ha crecido 2 cm. Determine el volumen de aire que se incremento.
F4BI4N:
el enunciado dice 32pi/3 centimetros cúbicos cierto?
Respuestas
Respuesta dada por:
10
Hola :) .
Sería facil aplicar la fórmula del volumen de una esfera , pero solo nos dicen que el diámetro aumentó +2 , entonces el diámetro anterior pudo ser cualquiera , pero para eso nos dan el primer dato , para hallar el diámetro o radio de la esfera inicialmente , luego de eso calculamos el volumen con +2 ,
Nos dan el volumen inicial de la esfera , sabemos que el volumen de una esfera es :
![V_{esfera} = \frac{4\pi r^{3}}{3} V_{esfera} = \frac{4\pi r^{3}}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7Besfera%7D+%3D++%5Cfrac%7B4%5Cpi+r%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D+)
Luego si igualamos el volumen de la esfera al dato que nos dan , tendremos como incógnita el radio y lo podemos despejar :
![\frac{32\pi}{3} = \frac{4\pi r^{3}}{3} \\ \\
32 = 4r^{3} \\ \\
r^{3} = 8 \\ \\
r = \sqrt[3]{8} \\ \\
\boxed{r = 2 } \frac{32\pi}{3} = \frac{4\pi r^{3}}{3} \\ \\
32 = 4r^{3} \\ \\
r^{3} = 8 \\ \\
r = \sqrt[3]{8} \\ \\
\boxed{r = 2 }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7B32%5Cpi%7D%7B3%7D++%3D++%5Cfrac%7B4%5Cpi+r%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A32+%3D+4r%5E%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C%0Ar%5E%7B3%7D+%3D+8+%5C%5C+%5C%5C%0Ar+%3D++%5Csqrt%5B3%5D%7B8%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7Br+%3D+2+%7D)
Resultó que el radio del volumen inicial es 2 , ahora bien , nos dicen que el diámetro aumentó en 2 unidades , eso es lo mismo que decir que el radio aumentó en 1 unidad, acuerdate que el diámetro es dos veces el radio, con numeros sería así ,
![Si \ d = 2r \\
d + 2 = 2r + 2 \\ \\
d + 2 = (r + 1) + (r + 1) Si \ d = 2r \\
d + 2 = 2r + 2 \\ \\
d + 2 = (r + 1) + (r + 1)](https://tex.z-dn.net/?f=Si+%5C+d+%3D+2r+%5C%5C%0A%0A++d+%2B+2+%3D+2r+%2B+2+%5C%5C+%5C%5C%0Ad+%2B+2+%3D+%28r+%2B+1%29+%2B+%28r+%2B+1%29)
Entonces tenemos que calcular el volumen de una esfera con radio 3 :
![V_{esfera} = \frac{4 \pi 3^{3}}{3} \\ \\
V_{esfera} = 36\pi V_{esfera} = \frac{4 \pi 3^{3}}{3} \\ \\
V_{esfera} = 36\pi](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7Besfera%7D+%3D++%5Cfrac%7B4+%5Cpi+3%5E%7B3%7D%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C%0AV_%7Besfera%7D+%3D+36%5Cpi+)
Nos piden cuanto volumen se incrementó , entonces necesitamos la diferencia de el volumen de la esfera de radio 3 y el volumen de la esfera de radio 2 :
![V_{esfera\ r=3} - V_{esfera \ r=2} \\ \\
36\pi - \frac{32\pi}{3} \\ \\
\boxed{ \frac{76 \pi}{3}} V_{esfera\ r=3} - V_{esfera \ r=2} \\ \\
36\pi - \frac{32\pi}{3} \\ \\
\boxed{ \frac{76 \pi}{3}}](https://tex.z-dn.net/?f=V_%7Besfera%5C+r%3D3%7D++-+V_%7Besfera+%5C+r%3D2%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A36%5Cpi+-++%5Cfrac%7B32%5Cpi%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C%0A%5Cboxed%7B+%5Cfrac%7B76+%5Cpi%7D%7B3%7D%7D+)
Esa sería la respuesta,
Saludos :)
Sería facil aplicar la fórmula del volumen de una esfera , pero solo nos dicen que el diámetro aumentó +2 , entonces el diámetro anterior pudo ser cualquiera , pero para eso nos dan el primer dato , para hallar el diámetro o radio de la esfera inicialmente , luego de eso calculamos el volumen con +2 ,
Nos dan el volumen inicial de la esfera , sabemos que el volumen de una esfera es :
Luego si igualamos el volumen de la esfera al dato que nos dan , tendremos como incógnita el radio y lo podemos despejar :
Resultó que el radio del volumen inicial es 2 , ahora bien , nos dicen que el diámetro aumentó en 2 unidades , eso es lo mismo que decir que el radio aumentó en 1 unidad, acuerdate que el diámetro es dos veces el radio, con numeros sería así ,
Entonces tenemos que calcular el volumen de una esfera con radio 3 :
Nos piden cuanto volumen se incrementó , entonces necesitamos la diferencia de el volumen de la esfera de radio 3 y el volumen de la esfera de radio 2 :
Esa sería la respuesta,
Saludos :)
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