Question

Un granjero ha dividido su terreno en parcelas rectangulares, de tal forma que la primera parcela tiene un área de 3m2, la segunda de 7m2 , la tercera de 11m2 y así sucesivamente hasta que la última parcela tiene 79 m2. ¿En cuántas parcelas dividió su terreno?¿Cuál es el área total del terreno?

Answer 1

Respuesta:

El terreno se dividió en 20 parcelas. El área total del terreno es 820 m²

Explicación paso a paso:

Hola! Se trata de un problema de progresiones aritméticas. Vamos a repasar un poco de que se tratan:

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la que la diferencia entre dos términos consecutivos es siempre la misma. Podemos escribir el enésimo término de una progresión aritmética de la forma:

$a_n = a_1+(n-1)d$

donde d es la diferencia entre dos términos consecutivos.

Sabemos de los datos del problema que la primera parcela tiene un área de 3 m², por tanto denotamos a₁ = 3. Para calcular la diferencia, simplemente tomamos dos términos consecutivos y los restamos. Tomando 3 m² y 7 m²:

d = 7 - 3 = 4

La diferencia es 4. Podemos plantear entonces la enésima parcela como:

$a_n = a_1+(n-1)d\\\\a_n = 3+(n-1)\cdot4$

¿En cuántas parcelas dividió su terreno?

Para hallar la cantidad de parcelas en las que se dividió el terreno, hallamos n para la última parcela. Esto es, sustituimos an = 79 y calculamos el valor de n. El valor de n, será la cantidad de parcelas en las que se dividió el terreno.

$a_n = 3+(n-1)\cdot4\\79 = 3+(n-1)\cdot4\\79 = 3+4n-4\\79 = 4n-1\\4n = 80\\n=80/4\\n=20$

R/ El terreno se dividió en 20 parcelas

¿Cuál es el área total del terreno?

El área total del terreno, es la suma de áreas de las 20 parcelas. La suma de n términos de una progresión aritmética está dada por:

$\large \sum_{i=1}^{i=n} a_i =\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$

Sustituyendo n = 20 y a₂₀ = 79:

$\large \sum_{i=1}^{i=20} a_i =\dfrac{20(3+79)}{2}=\dfrac{20(82)}{2}=820$

R/ El área total del terreno es 820 m²

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*. Como dato curioso adjunto el área de las n parcelas generadas por un software.

3    7   11   15   19   23   27   31   35   39   43   47   51   55   59   63   67   71   75   79

Si las sumamos todas manualmente obtendremos 820 comprobando una vez más que nuestra solución fue correcta.

Saludos!