En una circunferencia se trazan las cuerdas AB y BC formando entre sí un ángulo de 60°. Calcular el radio de la circunferencia sabiendo que: AB = 4 m y BC = 5 m.
Respuestas
Respuesta:
√7 m
Explicación paso a paso:
Por el teorema del coseno:
AC² = 4² + 5² - 2·4·5·cos60º
= 41 - 40·1/2
= 21
=> AC = √21
El lado AC se ve desde el centro de la circunferencia bajo un ángulo igual al doble del que se lo ve desde un punto cualquiera de la circunferencia (que no sea del arco AC). Desde un punto de la circunferencia se ve al segmento AC bajo un ángulo de 60º, de modo que desde el centro de la circunferencia se lo ve bajo un ángulo de 120º.
Si partimos el triángulo isósceles formado por los dos radios que llegan a los extremos A y C y lo partimos por la mitad mediante la altura correspondiente al lado AC, tendremos un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es el radio y el cateto opuesto al ángulo de 60º es la mitad de AC. Por tanto:
sen(60º) = (√21 / 2) / r
=> √3 / 2 = (√21 / 2) / r
=> r = √21 / √3
= √7 m