Question

Determinar el volumen mínimo de una pirámide conformada por un plano que se encuentra a una distancia de 3 unidades del origen y los planos xy , xz, yz en el primer octante

Answer 1

El volumen de la pirámide es $27\frac{\sqrt{3}}{2}$

Explicación paso a paso:

El volumen mínimo lo tenemos cuando la base de la pirámide (la cual es triangular y sus vértices son las intersecciones del plano con los ejes) tiene sus lados iguales. Y esto lo tenemos cuando el vector asociado al plano es (1,1,1).

La ecuación del plano queda x+y+z+d=0:

Si el plano dista 3 unidades del origen esto significa que el punto (x,y,z) tal que x=y=z y $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=3$ pertenece al plano:

$\sqrt{3x^2}=3\\\\x=y=z=\sqrt{3}$

Y el plano queda:

$x+y+z-d=0\\\\(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})\in \pi =>\pi=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}-d=0\\\\\pi: x+y+z-3\sqrt{3}=0$

Si reemplazamos dos de las variables por 0 tenemos intersecciones del plano con los ejes coordenados, las cuales son:

$(3\sqrt{3},0,0)\\(0,3\sqrt{3},0)\\(0,0,3\sqrt{3})$

Los lados de la base de la pirámide son iguales y queda:

$l_b=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{54}$

Y el área de la base al ser esta un triángulo equilátero es:

$A_b=\frac{\sqrt{3}.(\sqrt{54})^2}{4}=27\frac{\sqrt{3}}{2}$

El volumen de una pirámide siendo su altura de 3 ya que el plano dista 3 unidades del origen es:

$V=\frac{1}{3}.A_b.h=\frac{1}{3}.27\frac{\sqrt{3}}{2}.3=27\frac{\sqrt{3}}{2}$

En la imagen adjunta se ve la pirámide formada.