Question

En un triángulo ABC, (recto en A) se trazan la mediana y la altura, trazadas ambas desde el vértice A, sabiendo que el ángulo formado por estas rectas es 22°. El producto de los ángulos B y C es igual a:

Answer 1

Imaginate un triángulo rectángulo en el cual el vértice A, mide 90º, entonces se cumple:
B+C=90º.

mediana=es cada una de las rectas que une une el punto medio de un lado con su vértice opuesto.

altura= distancia de un lado a su vértice opuesto.

Trazamos la altura desde el vértice A, la altura es un segmento perpendicular a la hipotenusa, formándose 2 triángulos, de tal forma que en el vértice (H), situado en la hipotenusa, vamos a tener 2 ángulos de 90º.
Tenemos ahora un triángulo rectángulo A₁HB, y otro triángulo rectángulo A₂HC, de tal forma que el ángulo situado en el vértice H mide 90º.
En estos 2 triángulos (A₁HB) y (A₂HC), el ángulo sigutado en el vértice A₁, va a tener el mismo  valor que el ángulo situado en el vértice C.
ángulo en A₁=ángulo en C
y el ángulo situado en el vértice A₂ va a tener el mismo valor que el ángulo situado en el vértice B
ángulo en A₂=ángulo en B

Trazamos ahora la mediana desde el vértice A, de tal forma que divide a la hipotenusa en 2 partes iguales, al punto de corte con la hipotenusa le llamamos "M", y al trazar la mediana el ángulo A₂, se va ha dividir en dos ángulos.
ángulo en A₃=22 º
ángulo en A₄
Tenemos ahora 3 triángulos.
A₁HB,
A₃HM₁
A₄M₂C

Se cumple que el triángulo A₄M₂C, es isósceles ya que la distancia desde A₄ hasta M₂, es la mima distacia desde M₂ hasta C, e igual a la mitad de la hipotenusa.
Dist (A₄M)=Dist (M, C)=hipotenusa/2
Y por tanto el ángulo en C= ángulo en A₄

Calculemos el ángulo en M₂.
M₁+M₂=180º
68º+M₂=180º
M₂=180º-68º=112º

Calculemos el ángulo en C=ángulo en A₄.
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C=A₄
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C+  A₄+112º=180º
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A₄+A₄=68º
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2A₄=68º  ⇒   A₄=68º/2=34º

Por tanto el ángulo en A₄=ángulo en C=34º

Como :
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B+C=90º

_
B=90º-34º=56º

Entonces como el ángulo en B vale 56 y el ángulo en C vale 34, su producto será
56.34=1904

Sol: 1904.