Question

alguien me puede ayudar? por favor :cccccccc

Answer 1

Respuesta:   $\frac{1}{2}$

Pasos:

$\lim _{x\to \frac{1}{2}}\left(\frac{\sqrt{4x^2+3}-2}{2x-1}\right)$

$Racionalizar\:el\:numerador$

$\mathrm{Multiplicar\:por\:el\:conjugado}\:\frac{\sqrt{4x^2+3}+2}{\sqrt{4x^2+3}+2}$

$=\frac{\left(\sqrt{4x^2+3}-2\right)\left(\sqrt{4x^2+3}+2\right)}{\left(2x-1\right)\left(\sqrt{4x^2+3}+2\right)}$

Desarrollar: $\left(\sqrt{4x^2+3}-2\right)\left(\sqrt{4x^2+3}+2\right)$

$\mathrm{Aplicar\:la\:siguiente\:regla\:para\:binomios\:al\:cuadrado:\:}\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$

$a=\sqrt{4x^2+3},\:b=2$

$=\left(\sqrt{4x^2+3}\right)^2-2^2$

$\mathrm{Simplificar}\:$

$=4x^2-1$

Queda:

$=\frac{4x^2-1}{\left(2x-1\right)\left(\sqrt{4x^2+3}+2\right)}$

$\mathrm{Factorizar}\:4x^2-1:$

$\mathrm{Reescribir\:}4x^2-1\mathrm{\:como\:}\left(2x\right)^2-1^2$

$=\left(2x\right)^2-1^2$

$\mathrm{Aplicar\:la\:siguiente\:regla\:para\:binomios\:al\:cuadrado:\:}x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)$

$\left(2x\right)^2-1^2=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)$

$=\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)$

Queda:

$=\frac{\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(\sqrt{4x^2+3}+2\right)}$

$\mathrm{Eliminar\:los\:terminos\:comunes:}\:2x-1$

$=\frac{2x+1}{\sqrt{4x^2+3}+2}$

Entonces:

$=\lim _{x\to \frac{1}{2}}\left(\frac{2x+1}{\sqrt{4x^2+3}+2}\right)$

$\mathrm{Sustituir\:la\:variable}$

$=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+1}{\sqrt{4\left(\frac{1}{2}\right)^2+3}+2}$

Si $\sqrt{4\left(\frac{1}{2}\right)^2+3}=2$

$=\frac{2\cdot \frac{1}{2}+1}{2+2}$

$2\cdot \frac{1}{2}=1$

$=\frac{1+1}{2+2}$

$=\frac{2}{2+2}$

$=\frac{2}{4}$

$=\frac{1}{2}$       ⇒Respuesta