Question

En una asignatura universitaria de primero asisten a clase 100 de los 150 alumnos matriculados. Se sabe que aprueban el 90% de los alumnos que asisten a clase y el 30% de los que no asisten. Se elige un alumno al azar.
Calcular:
a) La probabilidad de que haya aprobado.
b) Si se sabe que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clase.

Answer 1

Sean los sucesos:
A=asistir en clase.
_
A=no asistir en clase.
Vamos a calcular las probabilidades de estos sucesos, teniendo en cuenta la definición clásica de probabilidad o regla de Laplace:
P(S)=probabilidad de un suceso.
P(S)=nº de casos favorables/nº de casos posibles.

P(A)=100/150=2/3
    _
P(A)=1-P(A)=1-(2/3)=(3-2)/3=1/3.

Según el problema sabemos que:
B=aprobar.
_
B=suspender.

P(B/A)=9/10
    _
P(B/A)=1-(9/10)=(10-9)/10=1/10.
       _
P(B/A)=3/10
    _ _
P(B/A)=1-(3/10)=(10-3)/10=7/10.

Para hallar la P(B); probabilidad de que halla aprobado utilizaremos el teorema de la probabilidad total.
P(B)=P(B/A₁).P(A₁)+P(B/A₂).P(A₂)+...+P(B/An).P(An).
Por tanto, en este caso:
                                       _      _
P(B)=P(B/A).P(A)+P(B/A).P(A).

P(B)=(9/10).(2/3)+(3/10).(1/3)=3/5 + 1/10=(6+1)/10=7/10. (=0,7)

Sol:la probabilidad de que haya aprobado es un 0,7 o lo que es lo mismo un 70%.

Para hallar el apartado b, tenemos que utilizar el teorema de Bayes.
P(Ai/B)=[P(Ai).P(B/Ai)] / P(B)
En este caso:
       _                  _               _
P(A/B)=[P(A).P(B/A)]  / P(B)
P(A)=3/5
    _
P(B/A)=1/10
    _
P(B)=1-P(B)=1-(7/10)=(10-7)/10=3/10.

Por tanto:
       _
P(A/B)=[(3/5).(1/10)] / (3/10)=(3/50) / (3/10)=(3.10) / (50.3)=1/5.

Sol: si se sabe que el alumno ha suspendido, la probabilidad de que haya asistido a clase es 1/5, o lo que es lo mismo 0,2 o un 20%.