Question

Ayudaa por favor !!! Determine el área de la región encerrado por las rectas y las curvas en

Answer 1

El área bajo la curva es $\frac{1}{3}a^3$

Explicación paso a paso:

El dominio de esta función es [-a,a], siendo la función positiva en [0,a] y negativa en [-a,0]. La curva tiene dos lóbulos con la misma área uno positivo y otro negativo, si uno de los límites es y=0, debemos hallar el área de uno de los lóbulos, queda:

$A=\int\limits^a_0 {x\sqrt{a^2-x^2}} \, dx$

En esta integral podemos aplicar substitución haciendo:

$u=a^2-x^2\\\\du=-2xdx$

Con lo cual la integral queda:

$A=-\frac{1}{2}\int\limits^0_a {\sqrt{u}} \, du=-\frac{1}{2}.[\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}]^0_a\\\\A=-\frac{1}{2}[\frac{2}{3}.(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}]^a_0=-\frac{1}{2}[\frac{2}{3}.0-\frac{2}{3}.(a^2)^{\frac{3}{2}}]\\\\A=\frac{1}{3}a^3$