Question

Determina los puntos en los que la recta y = x intersecta abla circunferencia cuya ecuacion es (x + 4) al cuadrado + (y+ 1) al cuadrado

Answer 1

Respuesta:

Ver explicación.

Explicación paso a paso:

Como el radio de la circunferencia no esta dado supondremos que es $k$. Luego debemos resolver el sistema

$\left \{ {{x=y} \atop {(x-(-4))^2+(y-(-1))^2=k^2}} \right.$

Sustituyendo la primera ecuación en la segunda tenemos

$(x+4)^2+(x+1)^2=k^2\Leftrightarrow x^2+8x+16+x^2+2x+1=k^2\Leftrightarrow 2x^2+ 10x+17-k^2=0$

Para esta última ecuación utilizaremos la formula cuadrática, calculemos primero su determinante $\Delta$

$\Delta= 10^2-4(2)(17-k^2)=100+8(k^2-17)$

Que tienen tres posibilidades dependiendo de si $\Delta >0, \Delta<0$  o $\Delta=0$, en términos del radio $k^2$

$\Delta>0 \Leftrightarrow 100+8(k^2-17)>0$                              (Dos intersecciones)

           $\Leftrightarrow k^2> \frac{-100}{8}+17=\fra{9}{2}=4.5$

$\Delta>0 \Leftrightarrow k^2< \frac{9}{2}$                                         (No hay intersecciones)

$\Delta=0 \Leftrightarrow k^2= \frac{9}{2}$                                          (Tangentes)

En el primer caso tenemos dos puntos de intersección a saber

$\left( \frac{1}{4}(-10+\sqrt{\Delta}), \frac{1}{4}(-10+\sqrt{\Delta}) \right)$ y $\left( \frac{1}{4}(-10+\sqrt{\Delta}), \frac{1}{4}(-10+\sqrt{\Delta}) \right)$

En el segundo caso no hay intersecciones. y en el tercer caso el punto de intersección es

$\left(\frac{-10}{4}, \frac{-10}{4}\right)$