Respuestas
Usamos la definición de tangente y cotangente para desarrollar la parte izquierda de la ecuación
\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+ \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}
Usamos que \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y las definiciones de secante y cosecante para obtener que
\displaystyle \tan \alpha + \cot\alpha = \frac{1}{\cos\alpha\cdot\sin\alpha}= \sec\alpha\cdot\csc\alpha
que es a lo que queríamos llegar.
2 \displaystyle \cot^2\alpha = \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2
Primero desarrollamos el cuadrado
\displaystyle \cos^2\alpha+(\cot\alpha\cdot\cos\alpha)^2=\cos^2\alpha+\cot^2\alpha\cdot\cos^2\alpha
Factorizamos \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos, usamos la identidad \displaystyle 1+\cot^2\alpha=\csc^2\alpha y la definición de cosecante y cotangente
\displaystyle \cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)=\cos^2\alpha \cdot\csc^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\cot^2\alpha
3 \displaystyle \frac{1}{\sec^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha
Desarrollamos el lado derecho, iniciando por factorizar \displaystyle \cos^2\alpha de ambos sumandos
\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha= \cos^2\alpha(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)
Usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha +\cos^2\alpha = 1 y la definición de secante
\displaystyle \sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha +\cos^4\alpha=\cos^2\alpha=\frac{1}{\sec^2\alpha}
4 \displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\csc\alpha
Usamos la definición de cotangente y secante
\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}
Cancelamos el factor \displaystyle \cos\alpha y usamos la definición de cosecante
\displaystyle \cot\alpha\cdot\sec\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\csc\alpha
5 \displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha =\frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha}
Desarrollamos con las definiciones de secante y cosecante y operamos la suma de fracciones
\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}+\frac{1}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }
Finalmente usamos la identidad \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 y obtenemos el resultado deseado
\displaystyle \sec^2 \alpha +\csc^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha }
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Demostrar identidades con fórmulas de suma
1 \displaystyle \sin b \cdot \cos(a-b)+\cos b \cdot \sin (a-b)=\sin a
Primero notamos que
\displaystyle \sin [b+(a-b)]=\sin a
La fórmula del seno de la suma es
\displaystyle \sin (x+y)= \sin x \cos y + \cos x \sin y
Y usandola obtenemos la identidad deseada de manera inmediata
\displaystyle \sin a = \sin [b+(a-b)] = \sin b \cdot \cos(a-b)+\cos b \cdot \sin (a-b)
2 \displaystyle \cot (a+b)=\frac{\cot a \cdot \cot b -1}{\cot a +\cot b}
La definición de cotangente nos dice que
\displaystyle \cot (a+b)=\frac{1}{\tan(a+b)}
Usamos la fórmula de la tangente de la suma y simplificamos
\displaystyle \cot (a+b)=\frac{1}{\frac{\tan a + \tan b}{1-\tan a \cdot\tan b}}=\frac{1-\tan a \cdot \tan b}{\tan a + \tan b}
Dividimos el numerador y denominador por \displaystyle \tan a \cdot \tan b , para después usar la cotangente para reducir la expresión
\displaystyle \frac{\frac{1}{\tan a\cdot\tan b}-\frac{\tan a \cdot \tan b}{\tan a \cdot \tan b}}{\frac{\tan a }{\tan a\cdot\tan b}+\frac{\tan b}{\tan a\cdot\tan b}}= \frac{\cot a \cdot \cot b -1}{\cot a +\cot b}
Simplificar las fracciones
1 \displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x}
Usamos la fórmula del seno del ángulo doble
\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1+\cos^2x-\sin^2x}
Consideramos que como \displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha =1 entonces \displaystyle 1-\sin^2 x= \cos^2 x
\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2x+\cos^2x}= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2x}
Simplificamos y aplicamos la definición de tangente
\displaystyle \frac{\sin 2x}{1+\cos 2x} = \frac{\sin x }{\cos x}= \tan x
2 \displaystyle \frac{\sin 2a}{1-\cos^2a}\cdot \frac{\sin 2a}{\cos a}