Question

Dos puntos de observación M y N están situados sobre la ribera de un río. Desde esos dos puntos que distan 20m uno del otro se observa un punto P al otro lado de la orilla del río. La distancia entre el punto de observación M y el objeto P si el ángulo M=40° y el ángulo N=54,5°, es :

A) 10,45m
B) 12,89m
C) 16,33m
D) 20,06m​

Answer 1

La distancia entre el punto de observación M y el objeto P es de 16,33 metros - Opción C -

Procedimiento

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera. En este caso se trata de un triángulo acutángulo.

Para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un  imaginario triángulo acutángulo MNP el cual está conformado por el lado MN que representa la distancia entre ambos puntos de observación situados sobre la ribera de un río y los lados MP y NP equivalen respectivamente a las distancias entre los dos puntos de observación dados sobre la orilla del río hasta el punto u objeto P situado en el otro margen del río

Se pide hallar la distancia entre el punto de observación M y el objeto ubicado en P  

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto  

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen( \beta) } = \frac{c}{ sen( \gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Hallando el valor del ángulo α

Sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo.Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed{ \bold { 180\° = 40\° + 54,5\° \ + \alpha }}$

$\boxed{ \bold {\alpha = \ 180\° \ - 40\° - 54,5\° }}$

$\boxed{ \bold {\alpha = \ 85,5\° }}$

Hallando la distancia entre el punto M y el punto P (MP = b)

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen( \beta) } }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen(85,5 )\° } = \frac{b}{sen( 54,5) \°} }}$

$\boxed {\bold { \frac{ 20 \ metros}{ sen(85,5 )\° } = \frac{b}{sen( 54,5) \°} }}$

$\boxed {\bold { b\ = \frac{ 20 \ metros \ . \ sen( 54,5) \° }{ sen(85,5 )\° } }}$

$\boxed {\bold { b\ = \frac{ 20 \ metros \ . \ 0,8141155183563 }{ 0,9969173337331 } }}$

$\boxed {\bold { b\ = \frac{ 16,282310367126 \ metros}{ 0,9969173337331 } }}$

$\boxed {\bold { b\ \approx 16,3326 \ metros }}$

$\boxed {\bold { b\ \approx 16,33\ metros }}$

La distancia entre el punto M y el punto P es de 16,33 metros

Aunque no está impuesto por el enunciado, si quisiéramos hallar la distancia entre el punto N y el punto P (NP = c)

Estableceríamos la siguiente relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } =\frac{c}{ sen( \gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{ sen(85,5 )\° } = \frac{c}{sen( 40) \°} }}$

$\boxed {\bold { \frac{ 20 \ metros}{ sen(85,5 )\° } = \frac{c}{sen( 40) \°} }}$

$\boxed {\bold { c\ = \frac{ 20 \ metros \ . \ sen( 40) \° }{ sen(85,5 )\° } }}$

$\boxed {\bold { c\ = \frac{ 20 \ metros \ . \ 0,6427876096865 }{ 0,9969173337331 } }}$

$\boxed {\bold { c\ = \frac{ 12,855752193730 \ metros}{ 0,9969173337331 } }}$

$\boxed {\bold { c\ \approx 12,8955 \ metros }}$

$\boxed {\bold { c\ \approx 12,89 \ metros }}$