Situación 2 En el siguiente gráfico se muestra un puente construido por una municipalidad sobre una estructura con formas parabólicas congruentes, que fueron evaluadas respecto a su resistencia sísmica. El punto (6; 0) es de tangencia y la ecuación de la parábola de la izquierda es x2 = −4y. A partir de la situación responde el siguiente reto • ¿Cuál es la ecuación de la parábola de la derecha?
Respuestas
La ecuación de la parábola de la derecha es la siguiente:
Procedimiento:
El punto de tangencia (6,0) resulta ser el vértice de la parábola del centro
Luego podemos hallar los vértices de las parábolas de la izquierda y de la derecha dado que por enunciado sabemos que las tres formas parabólicas son congruentes
Siendo los vértices
Para la parábola de la izquierda
Para la parábola de la derecha
Donde nos hemos desplazado sobre el eje x 6 unidades a la izquierda y 6 unidades a la derecha respectivamente
Por enunciado sabemos que la ecuación de la parábola de la izquierda es:
Donde su origen es en el vértice del eje de coordenadas
Luego como conocemos por enunciado que las tres parábolas son congruentes
Por relación de curvas y traslación sobre el eje x - donde cuando se traslada -h se traslada h unidades a la derecha-
Por lo tanto la parábola de la derecha equivale a la traslación de la parábola de la izquierda 12 unidades hacia la derecha
Siendo la ecuación de la parábola de la derecha
Verificamos
Empleamos la ecuación para la parábola de la izquierda
Donde
Luego
Por tanto
Empleamos la ecuación para la parábola de la derecha:
![](https://es-static.z-dn.net/files/d68/0f569a11af49d82a816ead5c699ef8b7.jpg)
![](https://es-static.z-dn.net/files/dd2/c85d1923433e521a2f3336b3fb95d40d.jpg)
La ecuación canónica de la parábola de la derecha es (x - 12)² = -12y.
Explicación:
Aplicaremos la ecuación canónica de una Parábola de eje vertical:
(x - h)² = ±4p(y - k)
donde:
(h, k) = (0, 0) son las coordenadas del vértice
p es la distancia, sobre el eje, desde el vértice al foco y a la directriz
Dado que la parábola de la izquierda tiene ecuación:
x² = -12y
Comparamos con la ecuación anterior y obtenemos:
h = 0 k = 0
-4p = -12 ⇒ p = 3
Las parábolas en el puente son congruentes, lo cual implica que la distancia p en todas ellas es la misma.
Se nos indica que el punto (6, 0) es de tangencia. Nos ubicamos en el sistema de coordenadas y observamos que la parábola que toca el eje x en el punto (6, 0) es la del centro, y lo hace precisamente en el vértice.
Ya que el vértice de la parábola de la izquierda se encuentra en el (0, 0) y el de la parábola del centro se encuentra a 6 unidades a la derecha de éste sobre el eje x; entonces el vértice de la parábola de la derecha debe estar a 6 unidades del vértice de la parábola del centro; es decir, en el punto (12, 0).
La parábola de la derecha tiene vértice en el punto (12, 0), abre hacia abajo y tiene distancia p = 3.
Sustituyendo en la ecuación canónica:
(x - 12)² = -4(3)(y - 0) ⇒ (x - 12)² = -12y
La ecuación canónica de la parábola de la derecha es (x - 12)² = -12y.
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