Question

Demostrar las siguiente fórmula utilizando el principio de inducción: n(n +1) es par 2$2^{n+2}+ 3^{2n+1}$ es múltiplo de 7

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Recordemos el principio de inducción:

Sea P(n) una propiedad para todo n ∈ N tal que:

1) P(1) es verdadera      (Caso base)

2) Para todo k ∈ N, si se cumple que P(k)  es verdadera (Hipotesis inductiva), esto implica que:

P(k+1) es verdadera  (Tesis inductiva)

Entonces P(n) es verdadera para todo n ∈ N

A) Demostrar que n(n+1) es par

Empecemos por el caso base:

n= 1

1(1+1) = 2 es par,  se cumple

Ahora supongamos que se cumple para un "k" determinado:

k(k+1)   Hipótesis inductiva

Ahora debemos probar para el siguiente de k,  es decir para k + 1

(k+1) (k+2)

k² + 2k + k + 2

k² + k + 2k + 2

k( k+ 1) + 2(k+1)

Lo marcado en negrita, es nuestra Hipótesis inductiva. Ademas tenemos 2(k+1), esto quiere decir: "el siguiente de un numero" multiplicado por 2, que efectivamente es par, ej:

2(2+1) = 2*3= 6 es par

Por lo tanto podemos decir que

k( k+ 1) + 2(k+1) es par

B)   $2^{n+2} + 3^{2n+1}$ es múltiplo de 7

Caso base:   n=1

$2^{1+2} +3^{2(1)+1}$

$2^{3} +3^{3}$

$8+27= 35$  es múltiplo de 7

Hipótesis inductiva:  n= k

$2^{k+2} +3^{2k+1}$  es múltiplo de 7   (H.I)

Debemos demostrar ahora que:  n= k + 1

$2^{k+1+2} +3^{2(k+1)+1}$  es múltiplo de 7

$2^{k+2+1} +3^{2k+1+2}$

Por propiedades de la potenciacion

$a^{n} *a^{m} =a^{n+m}$

$2*2^{k+2} +3^{2k+1}*3^{2}$

$2*2^{k+2} +3^{2k+1} *9$

Ahora vamos a expresar estrategicamente a 9 como 7 + 2, por los motivos que veremos a continuación:

$2*2^{k+2} +3^{2k+1} *(7+2)$

Por propiedad distributiva

$2*2^{k+2} +7*3^{2k+1} +2*3^{2k+1}$

$2*2^{k+2} +2*3^{2k+1} +7*3^{2k+1}$

Saco factor común:

$2*(2^{k+2} +3^{2k+1} )+7*(3^{2k+1} )$

Tenemos nuestra hipótesis inductiva,  eso quiere decir, que tenemos un múltiplo de 7 multiplicado por 2, que efectivamente es un múltiplo de 7

En el otro termino, tenemos:  "algo" multiplicado por 7, eso efectivamente es múltiplo de 7, por ej:

7* 11= 77

7*5= 35

Todos múltiplos de 7

Por lo tanto queda demostrada esta proposición

Saludoss