Question

Una masa de 3.00 kg sujeta a un resorte con k = 140 N/m está oscilando en una tina de aceite, el cual amortigua las oscilaciones. a) Si la constante de amortiguamiento del aceite es b = 10.0 kg/s, ¿cuánto tiempo le tomará a la amplitud de las oscilaciones para de crecer 1.00% de su valor original? b) ¿Cuál debe ser la constante de amortiguamiento para reducir la amplitud de las oscilaciones en 99% en un 1.00 s?

Answer 1

Respuesta:

a) 2.76 s

b) 27.6 kg/s

Explicación:

Como datos tenemos que:

• b = 10.0 kg/s
• k = 140 N/m
• m = 3kg

Calculamos:

$\sqrt{mk}=\sqrt{(3\;kg)(140 N/m)}=\sqrt{420kg^2/s^2}=20.49 \;kg/s$

Como $b<2\sqrt{mk}$ se trata de un movimiento con amortiguamiento pequeño donde la ecuación de posición está dada por:

$x(t)= Be^{-\omega_\gamma t}\cos(\omega't)+Ce^{-\omega_\gamma t}\sin(\omega' t) \\\\x(t)= e^{-\omega_\gamma t}(B\cos(\omega't)+C\sin(\omega' t))$

a) La amplitud alcanzará el 1.00% de su valor original cuando:

$e^{-\omega_\gamma t}=0.01\\\\-\omega_\gamma t=ln(0.01)\\\\t=\dfrac{ln(0.01)}{-\omega_\gamma} \text{ \;\;\;\; pero \omega_\gamma=\dfrac{b}{2m} }\\\\\boxed{t=\dfrac{2m\cdot ln(0.01)}{-b}=\dfrac{2(3)\cdot ln(0.01)}{-(10)} = 2.76\;s}$

b) Si las oscilaciones se reducen en 99% en t=1,significa que las oscilaciones deben ser el 1 % de la inicial, por tanto usamos:

$-\omega_\gamma t=ln(0.01) \text{ \;\;\;\; pero \omega_\gamma=\dfrac{b}{2m} }\\\\-\dfrac{b}{2m}t = ln(0.01) \text{\;\;\;\; Despejando b}\\\\\boxed{b = -\dfrac{2m\cdot ln(0.01)}{t}=-\dfrac{2(3)\cdot ln(0.01)}{1}=27.63\;kg/s}$