Question

Una antena de telefonía móvil está ubicada en lo alto de un edificio, una persona que está a 100m de la base del edificio observa la punta de la antena con un ángulo de elevación de 40° . Si la antena tiene 6m de alto ¿cual es la altura del edificio?

Answer 1

La altura del edificio es de 77.9 metros  

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.  

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC en donde el lado AC representa la línea visual hasta el extremo superior de la antena de telefonía móvil colocada en el edificio, la cual es observada con un ángulo de elevación de 40°, el lado BC es la altura del edificio desde su base hasta la parte superior de la antena de telefonía móvil que el edificio tiene en su cima, siendo este cateto el opuesto al ángulo de elevación dado - donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia “y”-, teniendo por último, el lado AB -siendo este cateto el adyacente al ángulo dado- el cual es la distancia desde determinado punto donde se ubica el observador hasta la base del edificio

Donde se pide hallar la altura "h" del edificio

Por tanto si hallamos la altura del edificio desde su base hasta el extremo superior de la antena a la cual llamamos - distancia “y”- en donde esta longitud es el cateto opuesto al ángulo de elevación conocido del triángulo rectángulo:

Luego la altura del edificio - la cual es nuestra incógnita- se reduce a una resta de magnitudes entre la longitud de “y” y la altura de la antena de la cual conocemos su valor

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado –que es la distancia desde el observador hasta la base del edificio que sostiene la antena- y conocemos un ángulo de elevación de 40° y debemos hallar la distancia “y”, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la distancia y -altura hasta el extremo superior de la antena de telefonía-

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(40^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(40^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia\ al \ edificio } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia\ al \ edificio \ . \ tan(40^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =100 \ m \ . \ tan(40^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 100 \ m \ . \ 0.839099631177 } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 83.90 \ metros } }$

Luego la altura hasta el extremo superior de la antena de telefonía es de 83.9 metros

Hallamos la altura (h) del edificio

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = distancia \ y \ -\ altura \ antena } }$

$\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 83.90 \ m\ -\ 6 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Edificio\ (h) = 77.9 \ metros } }$

La altura del edificio es de 77.9 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio planteado

Answer 2

La altura del edificio donde está ubicada la antena de 6 m de alto es:

77.9 m

¿Qué es un triángulo?

Es un polígono de tres lados. Y sus ángulos internos sumados son 180°.

Un triángulo rectángulo tiene como característica que uno de sus ángulos internos es recto (90º).

¿Qué son las razones trigonométricas?

La relación que forman los catetos de un triángulo rectángulo con sus ángulos y las funciones trigonométricas.

• Sen(α) = Cat. Op/Hip
• Cos(α) = Cat. Ady/Hip
• Tan(α) = Cat. Op/Cat. Ady

¿Cuál es la altura del edificio?

Aplicar razones trigonométricas, para determinar la altura H.

Tan(40º) = (H + 6)/100

Despejar H;

H + 6 = 100 Tan(40º)

H = 100 Tan(40º) - 6

H = 77.9 m

Puedes ver más sobre razones trigonométricas aquí:

https://brainly.lat/tarea/5066210

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