Question

por favor si me puede ayudar con este ejercicio de valor absoluto y ecuacion | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | = 1

Answer 1

Te recomiendo que saques los 0 de cada valor absoluto así pues la lista son
Para el primer valor absoluto $x=\{-2,4/3\}$ ; luego para el segundo
$x = \{-5/2,-1\}$

Ahora vamos a solucionarlo para el intervalo
(-inf, -5/2) en este intervalo $3x^2+2x-8 > 0$
para cualquier x en dicho intervalo, por tanto se puede eliminar los valores absolutos
por otra parte $2x^2+7x+5 \geq 0$  , entonces queda sencillamente
$\begin{matrix} | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | &=& 1 \\ (3x^2 + 2x -8) - (2x^2+7x+5) &=& 1 \\ x^2 -5x -14 &=& 0 \\ \\ x_1 &=& -2 \\ \\ x_2 &=& 7 \end{matrix}$
Ambas soluciones se descartan ya que nosotros partimos en que $x \leq -5/2$


Ahora analizamos el intervalo [-5/2,-2]
El primer valor absoluto es positivo
El segundo valor es absoluto es negativo
Entonces
$\begin{matrix} | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | &=& 1 \\ (3x^2 + 2x -8) + (2x^2+7x+5) &=& 1 \\ 5x^2 +9x -4 &=& 0 \\ \\ x_1 &=& -\frac{9}{10} + \frac{1}{10}\sqrt{161} \approx 0.3688 \\ \\ x_2 &=& -\frac{9}{10} - \frac{1}{10}\sqrt{161} \approx -2.168 \end{matrix}$
x1 no es solución en este intervalo
x2 si es solución al sistema ya que está en el intervalo predefinido

Seguimos recorriendo intervalos
esta vez (-2,-1)
El primer valor es negativo
El segundo valor es positivo

Entonces
$\begin{matrix} | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | &=& 1 \\ -(3x^2 + 2x -8) - (2x^2+7x+5) &=& 1 \\ -5x^2 -9x + 2 &=& 0 \\ \\ x_1 &=& \frac{1}{5} \approx 0.2\\ \\ x_2 &=&-2 \end{matrix}$
x1  no es solución en el intervalo
x2  sí es solución al sistema (En teoría)
*Edit al analizar la frontera x2  tampoco es solución

Se toma el otro intervalo
(-1,4/3)
El primer valor es negativo
El segundo es positivo

Por tanto
$\begin{matrix} | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | &=& 1 \\ -(3x^2 + 2x -8) - (2x^2+7x+5) &=& 1 \\ -5x^2 -9x + 2 &=& 0 \\ \\ x_1 &=& \frac{1}{5} \approx 0.2\\ \\ x_2 &=& -2 \end{matrix}$
Nótese que antes habíamos dicho que x1 no era solución , pero porque no entraba en el intervalo analizado , ahora sí, x1 sí es solución al sistema (mientras que x2 no es solución en este intervalo, pero sí en el intervalo anterior)


Ahora solo queda analizar el último intervalo
(-4/3, inf)
El primer valor es positivo
El segundo valor es positivo
Por tanto

$\begin{matrix} | 3x^2 +2x - 8 | - | 2x^2 + 7x + 5 | &=& 1 \\ (3x^2 + 2x -8) - (2x^2+7x+5) &=& 1 \\ x^2 - 5x -14 &=& 0 \\ \\ x_1 &=& 7 \\ x_2 &=& -2 \end{matrix}$
x1 es solución

-2 no es solución, esto se debe a que se excluyeron las fronteras cuando se analizó los intervalos, dejando eso el resto efectivamente son soluciones por tanto:


$\textrm{C.S} }= \{-\frac{9}{10} - \frac{1}{10}\sqrt{161} , \frac{1}{5},7 \}$
Saludos