Question

Hallar la ecuación vectorial e implícita del plano que pasa por los puntos: A(3,5,7), B(2,1,5) y C(-2,3,-5). Además hallar la proyección del vector que va desde A hasta B, sobre el vector que va desde A hasta C. interprete geométricamente.

Answer 1

Haremos primero la proyección

$\begin{matrix} \vec{AB} &=& [2-3, 1-5 , 5-7] &=& [-1,-4,-2] &=& -\hat{i} -4\hat{j} -2\hat{k} \\ \\ \vec{AC} &=& [-2-3,3-5,5-7 ] &=& [-5,-2,-2] &=& -5\hat{i} -2\hat{j} -2\hat{k} \end{matrix}$

$\begin{matrix} \vec{\textrm{Proy}}_{\vec{AC}}(\vec{AB}) &=& \left( \dfrac{\vec{AC}\cdot \vec{AB}}{\vec{AC}\cdot \vec{AC}}\right) \vec{AC} \\ \\ &=& \left( \dfrac{17}{33}\right)[-5,-2,-2] \end{matrix}$

Geométricamente la proyección de AB sobre AC es otro vector, en el mismo sentido que AC pero distinta magnitud, en este caso 17/33 de la magnitud original de AC.


Ahora para encontrar la ecuación del plano necesitamos los vectores AB y AC
La normal del plano es el producto cruz de dichos vectores
$\begin{matrix} \vec{\textrm{N}} &=& \vec{AB} \times \vec{AC} &=& \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -4 & -2 \\ -5 & -2 & -2 \end{vmatrix} &=& 4\hat{i} + 8\hat{j} -18\hat{k} \end{matrix}$

Utilizando el punto A(3,5,7)
La ecuación implícita del plano es:


$\begin{matrix} 4(x-3) + 8(y-5) -18(z-7) &=& 0 \\ \\ 4x + 8y -18z &=&-74 \end{matrix}$

o bien su forma vectorial

$\begin{matrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ -18 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} &=& \begin{bmatrix} 4 \\ 8 \\ -18 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{bmatrix} \end{matrix}$