Question

Abraham observa con un ángulo de elevación de 60° la parte más alta de un árbol llamado Secuoya. Camina 200 metros hacia ese mismo árbol y ahora observa la parte más alta con un ángulo de elevación de 80°. ¿Cuánto mide de alto el árbol?

Answer 1

La altura del árbol es de aproximadamente 498,71 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

En este problema vamos a configurar dos imaginarios triángulos rectángulos para representar la situación

El primer imaginario triángulo rectángulo ACD  está conformado por el lado AC que equivale a la altura del árbol,  el lado CD que representa la distancia sobre la línea del suelo del observador hasta el árbol - donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción: la del segmento BD, y no sabemos la longitud del segmento BC al cual llamaremos variable x - y el lado AD es la proyección visual hacia la cima del árbol con un ángulo de elevación de 60°.

El segundo imaginario triángulo rectángulo ABC está configurado por el lado AC que es la altura del árbol, el lado BD que es la distancia sobre el plano del suelo del observador hacia el árbol después de haber caminado en línea recta hacia él 200 metros. Este segmento BC es de valor desconocido y es al que llamamos variable x. Y por último tenemos el lado AB que equivale a la proyección visual hacia el punto más alto del árbol con un ángulo de elevación de 80°.

Este planteo se puede observar en el gráfico adjunto.

Conocemos

• Distancia del observador al árbol  = x + 200 metros

• Ángulo de elevación = 60°

• Ángulo de elevación = 80°  

• Debemos hallar la altura del árbol = lado AC = y

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable y.  

Donde x será la distancia a hallar sobre la línea de suelo hasta el árbol, desde que la persona se acercó al mismo 200 metros, que equivale al lado BC del segundo triángulo rectángulo.

Y dónde la incógnita y será la altura del árbol que es igual a la medida del lado AC de ambos triángulos rectángulos.  

Si 80° y 60° son uno de los ángulos agudos de cada uno de los dos triángulos rectángulos,  

Y la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (lado AC) y el cateto adyacente (lado CD)

Como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente (lado CD), los dos ángulos de elevación según se sitúe la persona en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura del árbol, vamos a relacionar los datos que tenemos con la tangente,  

Como conocemos parcialmente el lado CD, y desconocemos el segmento BC = incógnita x

Dónde el lado AC equivale a la altura del árbol = incógnita y

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold { tan(80)\° = \frac{y}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to\ y = x \ .\ tan(80)\°}}$

$\boxed {\bold { tan(60)\° = \frac{y}{(x+ 200)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to\ y = (x+200) \ . \ tan(60)\°}}$  

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed {\bold { x \ . \ tan(80)\° = (x + 200) \ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ tan(80)\° = \ x \ . \ tan (60)\° + 200 \ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ tan(80)\° - x \ . \ tan (60)\° = 200 \ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold { x \ . \ (tan(80)\° - \ tan (60)\°) = 200 \ . \ tan (60)\° }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 200 \ . \ tan (60)\° } { (tan(80)\° - \ tan (60)\°) } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 200 \ . \ 1,7320508075688 } { \ 5,6712818196177 - \ 1,7320508075688 } }}$

$\boxed {\bold { x = \frac{ 346,41016151377 } { \ 3,9392310120488 } }}$

$\boxed {\bold { x \approx87,93807 \ metros }}$

$\boxed {\bold { x \approx87,94 \ metros }}$

La medida del segmento BC es de ≅ 87,94 metros

Hallando la altura del árbol

Si

$\boxed {\bold { y = x \ .\ tan(80)\°}}$

Y

$\boxed {\bold { x = \frac{ 200 \ . \ tan (60)\° } { (tan(80)\° - \ tan (60)\°) } }}$

Reemplazando

$\boxed {\bold { h = \frac{ 200 \ . \ tan (60)\° \ . \ (tan(80)\° } { (tan(80)\° - \ tan (60)\°) } }}$

$\boxed {\bold { h = \frac{ 200 \ . \ 1,7320508075688 \ . \ 5,6712818196177 } { 5,6712818196177 - \ 1,7320508075688 } }}$

$\boxed {\bold { h = \frac{ 1964,5896511239 } { 3,9392310120488 } }}$

$\boxed {\bold { h \approx 498,71162 \ metros }}$

$\boxed {\bold { h \approx 498,71 \ metros }}$

La altura del árbol es de ≅ 498,71 metros

Dato curioso

Los árboles más altos de todo el mundo son las secoyas,

El árbol vivo más alto que se conoce es una secoya costera llamada Hyperion, que tiene una altura de 115,85 metros, por lo menos hasta el año 2017 cuando de la midió por última vez

El árbol del ejercicio es de la misma especie, y ha batido un nuevo record, habiendo cuadruplicado la altura de la secoya Hyperion