cómo lograr que la altura máxima que alcanzó un objeto sea la tercera parte de su alcance máximo.
Cual debe ser el ángulo de salida??
Respuestas
Respuesta:
Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal.
En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.
Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el suelo
Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
vx=v0·cosθ
vy=v0·senθ-g·t
La posición del proyectil en función del tiempo es
x= v0·cosθ·t
y= h+v0·senθ·t-g·t2/2
Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.
El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.
El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.
La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es
La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es
El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.
Alcance máximo
Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
Elevamos al cuadrado y simplificamos
El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale
Sustituyendo cosθ y senθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones
Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica
llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo
Rm=h·tan(2θm)
El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm
El alcance máximo sin cálculo de derivadas
Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:
Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ
con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.
Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo
El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa.
Velocidad final y velocidad inicial
La velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son
La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares,
Ejemplo:
La velocidad de disparo v0=60 m/s,
La altura inicial del proyectil h=200 m
El ángulo de tiro θ=30º.
El alcance R es
El tiempo T de vuelo del proyectil es
El alcance máximo (véase la última figura) se obtiene para el ángulo
El alcance y el tiempo de vuelo para este ángulo son, respectivamente
Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=450 m.
Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=450 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ
θ1=10.8º, θ2=55.3º, Como vemos θ1<θm<θ2
Supongamos que un atleta lanza un peso desde una altura h con una velocidad v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal.
Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale
Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º
El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·senθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)
Explicación: