Question

Un productor de cereales está consciente de que el peso del producto varía ligeramente entre una y otra caja. De hecho, cuenta con suficientes datos históricos para determinar la función de densidad que describe la estructura de probabilidad para el peso (en onzas). Si X es el peso, en onzas, de la variable aleatoria, la función de densidad se describe como.
f(x)=2/5 para 23,75 < x < 26,25.

Si se toma una muestra de 10 cajas. ¿Cuál es la probabilidad de que a lo máximo 2 cajas tengas un peso superior a 26 onzas?

Answer 1

Respuesta:

0,9298

Explicación paso a paso:

Lo primero hacemos una comprobación:

$\frac{2}{5}(26{,}25 - 23{,}75) = 1$

Eso significa que fuera de ese intervalo la probabilidad es cero. Si no fuera así entonces la función de densidad no estaría totalmente definida y no podríamos resolver el problema.

No es necesario integrar el área bajo la curva, pues dicha área es un rectángulo y basta con multiplicar la base por la altura.

Probabilidad de tener un peso superior a 26 onzas:

$P(x>26)=\frac{2}{5} (26{,}25} - 26) = 0{,}1$

Probabilidad de que en una muestra de 10 cajas a lo máximo 2 cajas tengan un peso superior a 26 onzas, es decir, en el que haya 0 cajas, o bien 1 caja, o bien dos cajas superiores a ese peso. La probabilidad total será la suma de esos tres casos:

Se trata de un caso de probabilidad binomial, donde:

p = 0,1

1 - p = 0,9

n = 10

x = 0, 1 y 2

El caso de x=0 no es necesario resolverlo binomialmente, pero lo haré igual que los demás por claridad.

$p=\binom{10}{0}\cdot 0{,}1^0\cdot 0{,}9^{10}+\binom{10}{1}\cdot 0{,}1^1\cdot 0{,}9^{9}+\binom{10}{2}\cdot 0{,}1^2\cdot 0{,}9^{8}$

$=0{,}9298$