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Explicación:
Definición
Dados los números reales a y b que cumplen a<b, se define el conjunto {\displaystyle (a;b)=}{\displaystyle (a;b)=} {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}}{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}} llamado intervalo abierto de extremo inferior a y extremo superior b.
En palabras, el intervalo abierto (a;b) es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b: este conjunto no contiene a ninguno de los extremos a y b.4 Se le nombra como un tipo de intervalo finito.
Otras notaciones
{\displaystyle (a;b)\ }{\displaystyle (a;b)\ } o {\displaystyle ]a;b[\ }{\displaystyle ]a;b[\ } o {\displaystyle <a;b>\ }{\displaystyle <a;b>\ }
En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.
En la topología usual de la recta (o {\displaystyle \mathbb {R} }\R) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de {\displaystyle \mathbb {R} }\R, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a; b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b]. Su exterior son las semirrectas (-∞; a] y [b; +∞).5 No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.6
Intervalo cerrado
Intervalo real 04.svg
Sí incluye los extremos.
Que se indica: {\displaystyle I=[a,b]\ }{\displaystyle I=[a,b]\ }
En notación conjuntista:
{\displaystyle I=[a,b]\Leftrightarrow }{\displaystyle I=[a,b]\Leftrightarrow } {\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}{\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}
Intervalo semiabierto
Incluye únicamente uno de los extremos.
Intervalo real 03.svg
Con la notación {\displaystyle (a,b]\ }{\displaystyle (a,b]\ } o bien {\displaystyle ]a,b]\ }{\displaystyle ]a,b]\ } indicamos.
En notación conjuntista:
{\displaystyle I=(a,b]\Leftrightarrow }{\displaystyle I=(a,b]\Leftrightarrow } {\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x\leq b}{\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x\leq b}
Intervalo real 02.svg
Y con la notación {\displaystyle [a,b)\ }{\displaystyle [a,b)\ } o bien {\displaystyle [a,b[\ }{\displaystyle [a,b[\ },
En notación conjuntista:
{\displaystyle I=[a,b)\Leftrightarrow }{\displaystyle I=[a,b)\Leftrightarrow } {\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x<b}{\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x<b}
Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.7 Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.8
Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.9