Respuestas
Respuesta:
Realice la Tabla de Verdad de la siguiente forma proposicional, [(p → q) ^ (q → r)] → (p ∨ r) es Verdadero, por lo tanto es un Tautologia
Tabla de verdad: es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar.
[(p → q) ^ (q → r)] → (p ∨ r)
p q r (p→q) (q→r) (p→q)∧(q→r) (p ∨ r) [(p → q) ^ (q → r)] → (p ∨ r)
V V V V V V V V
V F V F V F V V
F V F V F F F V
F F F V V F F V
Tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por verdadero.
Explicación paso a paso:
Respuesta:roblema de lógica propuesto en clase y en sci.logic
Demostrar que (p <-> q) -> r <-> (p & q -> r) & ( ~p & ~q -> r)
Soluciones propuestas en sci.logic
Prueba 1
p q r ((p <-> q) -> r)
-----------------------
v v v v v v v v
v v F v v v F F
v F v v F F v v
v F F v F F v F
F v v F F v v v
F v F F F v v F
F F v F v F v v
F F F F v F F F
(1)
p q r (((p & q) -> r) & ((~p & ~q) -> r))
---------------------------------------------
v v v v v v v v v F F F v v
v v F v v v F F F F F F v F
v F v v F F v v v F F v v v
v F F v F F v F v F F v v F
F v v F F v v v v v F F v v
F v F F F v v F v v F F v F
F F v F F F v v v v v v v v
F F F F F F v F F v v v F F
(2)
(1) = (2) => (p <-> q) -> r <-> (p & q -> r) & ( ~p & ~q -> r)
Prueba 2:
a) |- ((P <-> Q) -> R) -> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
b) |- (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) -> ((P <-> Q) -> R).
c) |- ((P <-> Q) -> R) <-> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
a) |- ((P <-> Q) -> R) -> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
1 (1) (P <-> Q) -> R) A
2 (2) P & Q A
2 (3) P 2 &E
2 (4) Q 2 &E
2 (5) Q -> P 3 SI(S) "TC"
2 (6) P -> Q 4 SI(S) "TC"
2 (7) P -> Q & Q -> P 5,6 &I
2 (8) P <-> Q 7 Df. <->
1,2 (9) R 1,8 MPP
1 (10) P & Q -> R 2,9 CP
11 (11) ~P & ~Q A
11 (12) ~P 11 &E
11 (13) ~Q 11 &E
11 (14) P -> Q 12 SI(S) "FA"
11 (15) Q -> P 13 SI(S) "FA"
11 (16) P -> Q & Q -> P 14,15 &I
11 (17) P <-> Q 16 Df. <->
1,11 (18) R 1,17 MPP
1 (19) ~P & ~Q -> R 11,18 CP
1 (20) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) 10,19 &I
(21) ((P <-> Q) -> R) ->
(P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) 1,20 CP
b) |- (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) -> ((P <-> Q) -> R)
1 (1) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) A
2 (2) (P <-> Q) A
1 (3) P & Q -> R 1 &E
1 (4) ~P & ~Q -> R 1 &E
2 (5) (P -> Q) & (Q -> P) 2 Df. <->
2 (6) P -> Q 5 &E
2 (7) Q -> P 5 &E
(8) P v ~P TI(S) "TND"
9 (9) P A
2,9 (10) Q 6,9 MPP
2,9 (11) P & Q 9,10 &I
1,2,9 (12) R 3,11 MPP
13 (13) ~P A
2,13 (14) ~Q 7,13 MTT
2,13 (15) ~P & ~Q 13,14 &I
1,2,13 (16) R 4,15 MPP
1,2 (17) R 8,9,12,13,16 vE
1 (18) (P <-> Q) -> R 2,17 CP
(19) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
-> ((P <-> Q) -> R) 1,18 CP
c) |- ((P <-> Q) -> R) <-> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
(1) ((P <-> Q) -> R) -> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) TI (a)
(2) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) -> ((P <-> Q) -> R) TI (b)
(3) (((P <-> Q) -> R) -> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R))
& ((P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) -> ((P <-> Q) -> R)) 1,2 &I
(4) ((P <-> Q) -> R) <-> (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) 3 Df. <->
Prueba 3
1 (1) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) A
2 (2) (P <-> Q) A
1 (3) (P & Q -> R) 1 &E
1 (4) (~P & ~Q -> R) 1 &E
2 (5) (P & Q) v (~P & ~Q) 2 SI(S) "Equiv"
6 (6) P & Q A
1,6 (7) R 3,6 MPP
8 (8) ~P & ~Q A
1,8 (9) R 4,8 MPP
1,2 (10) R 5,6,7,8,9 vE
1 (11) (P <-> Q) -> R 2,10 CP
(12) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
-> ((P <-> Q) -> R) 1,11 CP
Now IF "Equiv" were actually a primitive _rule of derivation_ of our system, we
could write down the 12-step proof (only consisting of "atomic steps"):
1 (1) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R) A
2 (2) (P <-> Q) A
1 (3) (P & Q -> R) 1 &E
1 (4) (~P & ~Q -> R) 1 &E
2 (5) (P & Q) v (~P & ~Q) 2 Equiv
6 (6) P & Q A
1,6 (7) R 3,6 MPP
8 (8) ~P & ~Q A
1,8 (9) R 4,8 MPP
1,2 (10) R 5,6,7,8,9 vE
1 (11) (P <-> Q) -> R 2,10 CP
(12) (P & Q -> R) & (~P & ~Q -> R)
-> ((P <-> Q) -> R) 1,11 CP
Prueba 4 (incompleta)
----1 (p <-> q) -> r
| --2 p & q
| | 3 p <-> q (porque (p<->q) <-> (p & q) |(~p & ~q) )
| --4 r (por 1)
| 5 (p & q) -> r
| --6 ~p & ~q
| | 7 p <->q
| --8 r
| 9 (~p & ~q) ->r
---10 ((p & q) -> r) & ((~p & ~q) -> r)
11 ((p <-> q) -> r) -> (((p & q) -> r) & ((~p & ~q) -> r))
-----12 ((p & q) -> r) & ((~p & ~q) -> r)
| ---13 (p <-> q)
| | 14 (p & q) | (~p & ~q)
| | -15 p & q
| | |16 (p & q) -> r
| | -17 r
| | -18 ~p & ~q
| | |19 (~p & ~q) -> r
| | -20 r
| |--21 r
|----22 (p <-> q) -> r
Prueba 5 (incompleta)
1. (p <-> q) -> r
2. ~r -> ~(p <-> q)
3. ~r -> ~((p & q) V (~p & ~q))
4. ~r -> (~(p & q) & ~(~p & ~q))
5. (~r -> ~(p & q)) & (~r -> ~(~p & ~q))
6. ((p & q) -> r) & ((~p & ~q) -> r)
Supuestos aplicables:
p = Iraq had weapons of mass destruction
q = U.S. Administration is trustworthy
r = U.S. invasion of Iraq was justified
Explicación paso a paso: