Question

Juan es un destacado estudiante de matemáticas, en clase propone a sus compañeros y a su profesor la siguiente ecuación x^2+y^2-4x+6y+k=0 que describe una circunferencia de radio 1 cuando k es igual a

Answer 1

Respuesta:

k=12

$x^2+y^2-4x+6y+12=0$

Teoría y deducción de la formula:

Regresemos un poco a la teoría, la ecuación de una circunferencia nos ayuda a encontrar las coordenadas del centro O(a,b) y la magnitud del radio.

Dada una circunferencia con centro O con las coordenadas (a,b), y radio R(x,y).

Formando la circunferencia: Ver figura al final. Abajo

Llamaremos al punto de intersección C,ha de saber y concluir que el punto C cuenta con las coordenadas (x,b), puesto que comparte el mismo eje x con R y el mismo eje y con O.

Para llegar a la ecuación usaremos el teorema de Pitagoras, donde:

RO= Hipotenusa

CO y OR = Catetos

Para esto necesitamos saber sus longitudes. Recuerde que la distancia de dos puntos en una recta o mismo eje en el plano es D = x1 - x2  o D=y1-y2

Por lo que la distancia de

RO = y-b

CO = x-a

Aplicando el teorema de Pitagoras tenemos

$r^2=(y-b)^2+(x-a)^2$

Igualado a cero la ecuación tenemos:

$0=(y-b)^2+(x-a)^2-r^2$

Esta es la ecuación general de una circunferencia.

Desarrollando las dos potencias tenemos:

$x^2+y^2-2a-2b+a^2+b^2-r^2=0$

Escribimos de la siguiente manera:

$a^2+b^2-r^2=k\\-2a=D\\-2b=E\\\\Tenemos:\\x^2+y^2+Dx+Ey+k=0$

Esta es otra manera de representar la ecuación general de una circunferencia.

RESOLUCIÓN CON LOS DATOS DADOS:

Se plantea la siguiente ecuación de una circunferencia

$x^2+y^2-4x+6y+k=0$

Se nos pide hallar el valor de k tomando en cuanta que el radio "r" tiene una longitud de 1.

Por lo visto anteriormente deducimos que coordenada "a" es:

$D=-2a\\-4=-2a\\2=a$

Valor de la coordenada "b":

$E=-2b\\6=-2b\\-3=b$

El valor de "k":

$k=a^2+b^2-r^2\\k=4+9-1\\k=12$

El centro del circulo se encuentra en las coordenadas (2,-3) y su radio tiene una longitud de 1 se puede escribir de la manera:

$(x-2)^2+(y+3)^2-1=0$

$x^2+y^2-4x+6y+12=0$.

PD: Espero haberte ayudado, si tienes alguna inquietud o has notado un error de mi parte, no dudes en decirlo en la caja de comentarios. Linda noche. Att: Ultrazombi