Respuestas
Respuesta:
Sea h(x) = cos x − 1 +
x
2
2
. Como h(−x) = h(x), y h(0) = 0, bastará probar que h es creciente en [0,+∞[.
Como h
′
(x) = x −senx y h
′′(x) = 1−cos x Ê 0, se sigue que h
′
es creciente y, como h
′
(0) = 0, se sigue que
h
′
(x) Ê 0 para todo x Ê 0. Luego h es creciente en [0,+∞[. Finalmente, si x ∈R, se tendrá que o bien es x Ê 0
o bien es −x Ê 0. En cualquier caso, deducimos que h(x) = h(−x) Ê h(0) = 0, esto es 1−
x
2
2
É cos x.
Ejercicio 2.
a) Calcula el límite l´ımx→0
log³
senx
x
´
x
2
y estudia la convergencia de la serie X
nÊ1
log(n sen(1/n)).
b) Estudia la convergencia de la serie X
nÊ1
3
n n!
p3 n 5·8·11···(5+3n)
y calcula el límite de la sucesión
1+2
α +3
α +··· +n
α
n
α+1
, donde α > −1.
Solución.
a) Sabemos que l´ımx→0
senx
x
= 1 (es la derivada de senx en x = 0). Por tanto, el límite pedido es una indeter-
minación del tipo 0
0
y podemos aplicar la regla de L’Hôpital.
l´ımx→0
log³
senx
x
´
x
2
= l´ımx→0
x
senx
x cos x −senx
2x
3
= l´ımx→0
x cosx −senx
2x
3
Este límite también es una indeterminación del tipo 0
0
y podemos aplicar otra vez la regla de L’Hôpital.
l´ımx→0
x cos x −senx
2x
3
= l´ımx→0
−x senx
6x
2
= − l´ımx→0
senx
6x
= −
1
6
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada
1 Cálculo
1
o
Ingeniería de