Determina el perímetro de un triángulo rec- tángulo si se sabe que la longitud de su hipotenusa excede en una unidad la longitud de un cateto y en ocho unidades la longitud del otro cateto. porfa necesito ayuda
Respuestas
Se trata de determinar el perímetro de un triángulo rectángulo mediante proporciones y ecuaciones cuadráticas.
Consideraciones:
La formula del perímetro de un triangulo rectángulo es:
p = hipotenusa + cateto1 + cateto2
El Teorema de Pitágoras nos indica que:
c² = a² + b²
Planteamiento:
c = a+1
c = b+8
c² = a² + b²
c = longitud de la hipotenusa
a = longitud del cateto1
b = longitud del cateto2
Desarrollo:
de la primer ecuación del planteamiento:
a = c-1
de la segunda ecuación del planteamiento:
b = c-8
sustituyendo el valor de estas dos últimas ecuaciones eb la tercer ecuación del planteamiento:
c² = (c-1)² + (c-8)²
Particularmente:
(c-1)² = (c-1)(c-1) = c*c + c*-1 -1*c -1*-1 = c² - c - c + 1 = c² - 2c + 1
(c-8)² = (c-8)(c-8) = c*c + c*-8 -8*c - 8*-8 = c² - 8c - 8c + 64 = c² -16c + 64
entonces:
c² = (c²-2c+1) + (c²-16c+64)
c² = 2c² -18c + 65
0 = 2c² - c² -18c + 65
0 = c² - 18c + 65
c = {-(-18)±√((-18)²-(4*1*65))} / (2*1)
c = {18±√(324-260)} / 2
c = {18±√64} / 2
c = {18±8} / 2
c₁ = {18-8} / 2 = 10/2 = 5
c₂ = {18+8} / 2 = 26/2 = 13
a₁ = c₁ -1 = 5-1 = 4
a₂ = c₂ -4 = 13-1 = 12
b₁ = c₁ -8 = 5 - 8 = -3 Ya que este no es un número natural no se considera como opción resultante (En este caso no es posible considerar que un lado sea negativo), Por tanto, solo se considerará el valor de c₂.
b₂ = c₂ -8 = 13-8 = 5
Comprobación:
13² = 12² + 5²
169 = 144 + 25
Respuesta:
Perímetro = hipotenusa + cateto1+ cateto2
p = 13 + 12 + 5
p = 30unidades
La longitud del perímetro del triángulo es:
30 unidades
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Respuesta:
1
Explicación paso a paso: