Question

un comandante que tiene 3 batallones a su disposición para asaltar una trinchera les promete, a fin de animarles, repartir 901 duros de la forma siguiente: a cada soldado del 1er batallón que entre le dará un duro y lo demás se repartirá entre lo otros. Resulta que si son en el asalto los primeros los del Tercio corresponde a los demás 1/2 duro, y si son los cazadores, a los otros toca 1/4 de duro. ¿De cuantos hombres se componía cada batallón?

Answer 1

x=nº de hombres del  primer batallón (Tercio).
x=nº de hombres del segundo  (Cazadores).
y=nº de hombres del tercer batallón (todavía falta por bautizar a este batallón).
Planteamos el siguiente sistema de ecuaciones:
x+y/2+z/2=901   ⇒2x+y+z=1802  
x/4+y+z/4=901.  ⇒x+4y+z=3604
Tenemos aquí un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, eso significa que podemos tener varias soluciones.
Por tanto tomamos una de las variables ("z") y la asignamos un valor variable ("λ").
z=λ  ;  λ∈N.  (λ perntenece al conjunto de los números naturales 1,2,3....)
Pasamos el valor de λ, al lado de la ecuación donde se encuentra el térmno independiente.

2x+y=1802-λ
x+4y=3604-λ

Resolvemos por el método de reducción:

     2x+y=1802-λ                                 -4 ( 2x+y=1802-λ)
-2(x+4y=3604-λ)                                      x+4y=3604-λ
------------------------------                ----------------------------             
         -7y=-5406+λ                                -7x=-3604+3λ

y=(5406-λ) / 7                                          x=(3604-3λ)/7



Bueno ahora empieza lo dificil.

(5406-λ),  tiene que ser divisible por "7";
Dividimos  5406 entre 7 y nos da un cociente igual a C=772, y un resto R=2.
Significa que a 5406 le tenemos que restar 2+7n, para que nos de un número entero. Es decir con el resto (R=2) averiguamos cuanto le tenemos que restar a 5406 para que sea divisible por 7. Y luego ya que tenemos ese número divisible (5406-2=5404) si le restamos "7n", encontraremos de nuevo un número divisible por 7.


Por tanto
λ=2+7n;  n∈N.
Demos un valor a "n"; n=30. ⇒ λ=2+7.30=212.
Por tanto: z=212;
Despejemos ahora "y";
y=(5406-λ)/7
y=(5406-212) / 7=742.

Despejemos ahora "x";
x=(3604-3λ)/7=(3604-3.212)/7=424


Solución posible: El primer batallón dispone de 424 hombres, el segundo batallón lo componen 742 hombres y el tercer batallón lo componen 212 hombres.

Vamos a encontrar otra posible solución:
λ=2+7n  n∈N
si n=40; ⇒ λ=2+7.40=282.

Entonces:
y=(5406-λ) / 7=(5406-282)/7=732
x=(3604-3.282)/7=394.

Otra solució posible: En el primer batallon: tienes 394 hombres, en el segundo batallón tienes 732 hombres y en el tercérbatallón tienes 282 hombres.


Solución: tienes muchas soluciónes al ser un sistema de 3 ecuaciones y 2 incognitas, sólo tienes que dar un valor natural a λ
x=(3604-3λ)/7
y=(5406-λ)/7
z=λ      λ=2+7n;  n∈N.