Question

Situación 4 La plaza Bolognesi ubicada a 5 km al sur y 3 km al oeste del centro de Lima tiene un diámetro de 0,1 km, aproximadamente. Si ocurriera un sismo 7 grados en la escala de Richter, siendo allí el epicentro, y un poste de luz se derrumba sobre el borde ubicado en el extremo superior de la plaza. a. ¿Cuál sería la ubicación donde cae el poste? b. ¿Cuál sería la ecuación de la recta que representa el poste? c. Si el epicentro se ubicaría en la zona norte, interceptando en el extremo superior y tendría un diámetro de 0,2 km, ¿cuál sería la ecuación de la circunferencia que se generaría?

Answer 1

a) La ubicación donde cae el poste está dada por:

$\boxed {\bold { P = (-3, -4,95)}}$

Y según la Rosa Náutica la ubicación donde cae el poste está a 3 km al oeste y 4,95 km al sur del centro de Lima

b) La ecuación de la recta que representa el poste es:

$\boxed{ \bold { y = -4,95}}$

c) Si el epicentro del sismo se ubicara en la zona norte interceptando en el extremo superior la ecuación de la circunferencia sería

$\boxed{ \bold { (x + 3 )^{2} + \ (y + 4,85 )^{2} = 0,01 }}$

Procedimiento:

Representamos el problema en el plano cartesiano.

Como en el enunciado se hace referencia a los puntos cardinales, deberemos ubicar a estos puntos en el plano.  

Los puntos cardinales son referencias geográficas que se utilizan para ubicarnos en la Tierra. Estas referencias se definen en base al eje de rotación: el sur y norte apuntan hacia los polos geográficos, mientras que el este y oeste en direcciones perpendiculares a este eje. Siendo en el plano cartesiano el eje X también llamado eje de la las abscisas representa la dirección este – oeste, y el eje Y llamado el eje de las ordenadas representa la dirección norte – sur

Donde tomamos al centro de Lima como centro de origen (0,0) en la intersección de los ejes de X e Y

Luego al estar dividido el plano cartesiano en cuatro cuadrantes donde la Plaza Bolognesi se encuentra ubicada a 5 kilómetros al sur y a 3 kilómetros al oeste del centro de Lima, se ubican los pares ordenados para la plaza.

Ubicando 5 en el semieje negativo del eje Y y 3 en el semieje negativo del eje X. Tomando ambos valores con signo negativo

Habiendo ubicado el par ordenado (-3,-5) que representa el centro de la Plaza Bolognesi

Luego sabemos por enunciado que esta plaza tiene un diámetro de 0,1 km

Si el diámetro equivale a dos veces el valor del radio

Teniendo entonces 0,05 km de radio

Podemos trazar entonces la circunferencia que representa al área que contiene a la Plaza Bolognesi

El enunciado dice

Si ocurriera un sismo, siendo el epicentro esta plaza y un poste de luz se derrumbara sobre el extremo superior de esta plaza cuál será la ubicación de donde cae el poste

Luego se ubica el poste en el extremo superior de la circunferencia que representa a la plaza Bolognesi  

Donde para el eje X proyectamos en el gráfico la dirección del poste con una línea paralela al eje Y obteniendo como ubicación -3 en el eje de las abscisas

Y donde proyectamos en el gráfico la dirección del poste con una línea paralela al eje X  obteniendo como ubicación -4,95 en el eje de las ordenadas

O lo que es lo mismo  

Tomando el centro de la circunferencia que representa a la Plaza que es -5, le restamos el valor del radio de la misma

$\boxed { \bold { -5 - 0,05 = -4,95}}$

Obteniendo así el punto del poste sobre el eje Y o en el eje de ordenadas

Luego

La ubicación de donde se cae el poste está dada por el par ordenado

$\boxed {\bold { P = (-3, -4,95)}}$

Dado que el enunciado menciona los puntos cardinales

Podemos decir que la ubicación de donde cae el poste está a 3 km al oeste y 4,95 km al sur del centro de Lima

Ecuación de la recta que representa al poste

El poste cae tangencialmente sobre el extremo superior o el extremo norte de la circunferencia que representa el área que contiene a la Plaza Bolognesi

Donde si prolongamos el poste se obtiene una recta paralela al eje X

Donde esa ecuación se comporta como una función constante

La gráfica de una función constante es una recta paralela al eje de abscisas X.

Pudiendo observarse en el gráfico adjunto

Concluyendo que la ecuación de la recta que representa al poste es

$\boxed{ \bold { y = -4,95}}$

Si el epicentro del sismo se ubicara en la zona norte interceptando en el extremo superior, ello significa que se dirige hacia el norte de manera perpendicular al centro de la circunferencia de la plaza.  

Y en donde las ondas sísmicas interceptan el extremo superior de la circunferencia que comprende a la plaza por lo tanto se ubicaría tangencialmente a la recta que representa el poste

Luego trazamos una nueva circunferencia para las ondas sísmicas, donde esta tiene un diámetro de 0,2 km, por lo tanto su radio equivale a la mitad de esa magnitud, es decir 0,1 km . Y en donde el poste que cayó forma un punto de tangencia con ambas circunferencias. El cual señalamos

Desde el punto de tangencia restamos el valor del radio de la circunferencia de las ondas sísmicas

$\boxed{ \bold { -4,95 - \ 0,10 = -4,85 }}$

Podemos ya determinar la ecuación de la circunferencia que se generaría si el epicentro del sismo ocurriera en la zona norte

Donde el centro de la circunferencia de las ondas sísmicas está en

$\boxed {\bold { C = (-3, -4,85)}}$

Y el radio

$\boxed{ \bold { r = 0,10 \ km }}$

Empleando la ecuación ordinaria de la circunferencia

$\boxed{ \bold { (x -h)^{2} + \ (y -k)^{2} = r^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x + 3 )^{2} + \ (y + 4,85 )^{2} = 0,10^{2} }}$

$\boxed{ \bold { (x + 3 )^{2} + \ (y + 4,85 )^{2} = 0,01 }}$