representa las siguentes fracciones f(X)=3(x-2)+2 f(X)=x3 f(X)=0.5(X+3)-3 f(X)= f(X)=1/2x3-x2-3x+4
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Respuesta:
5) En cada caso tranformamos la f´ormula para an para que sea m´as sencillo estudiar la
convergencia
a) Dividiendo entre n4,
an =
3 − 2/n4
1 + 2/n2 + 2/n4
que claramente converge con l´ım an = 3.
b) Dividiendo entre 6n,
an =
1
(5/6)n + (−1)n .
Notando que (5/6)n ! 0, se sigue que l´ım a2n = 1 mientras que l´ım a2n+1 = −1, por tanto no
existe l´ım an. La sucesi´on no converge.
c) Sacando factor com´un n, multiplicando y dividiendo por el conjugado y, finalmente,
dividiendo por n,
an = n
p
n2 + 1 − n
= n
n2 + 1 − n2
pn2 + 1 + n
=
1 p
1 + 1/n2 + 1
que claramente converge con l´ım an = 1/2.
6) a) La desigualdad an < 2 se cumple para n = 1. Si la suponemos cierta para un n,
entonces an+1 = p2an < p2 · 2 = 2, que es la desigualdad para n + 1.
b) Consideramos las implicaciones
an an+1 , an p2an , a2
n 2an
y la ´ultima desigualdad es cierta porque 0 < an < 2 (simplif´ıquese entre an). Por el teorema
de Bolzano-Weierstrass la sucesi´on es convergente. digamos l = l´ım an. Tomando l´ımites en la
recurrencia an+1 = p2an se tiene l = p2l y las posibilidades son l = 0 y l = 2. La primera es
claramente imposible porque a1 = 1 y la sucesi´on es creciente.
7) La desigualdad (a+b)2 4ab se cumple para todo a, b 0 porque (a+b)2−4ab = (a−b)2.
a) La desigualdad anterior con a = xn, b = t/xn implica que x2
n+1 t de donde pt es una
cota inferior para la sucesi´on. Por otro lado, la cota superior 2 se sigue por inducci´on, ya que
xn 2 se cumple para n = 1 y suponi´endola para alg´un n, se deduce para n + 1 gracias a
xn+1 =
1
2
xn +
t
xn
1
2
xn +
tp
t
1
2
2 + pt
2.
b) Se tienen las implicaciones
xn+1 xn ,
1
2
xn +
t
xn
xn ,
t
xn xn , t x2
n
Explicación paso a paso: