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Explicación paso a paso:
a) (√81/25)² · (∛81/27)³ / √(144/36)
La raiz cuadrada de un número racional N es igual al número elevado a la potencia 1/2, por lo que √N² = N
La raiz cúbica de un número racional N es igual al número elevado a la potencia 1/3, por lo que ∛N³ = N
144 = 12 · 12 = 12²
36 = 6 ·6 = 6²
Por lo que la expresión inicial es igual a:
(81/25) · (81/27) / √(12² / 6²) =
(81/25) · 3 / (12 / 6) =
(243/25) / 2 = 243/50
b) (3/4)² · √(1/8)² / (3/4)
Se simplifican el término (3/4)² en el numerador con el término (3/4) del denominador y √(1/8)² = (1/8)
(3/4) · (1/8) = (3/32)
c) √(144/36)² / (2/5)²
√(144/36)² = (144/36) = (12 ·12/12·3) = 12/3 = 4
(2/5)² = 4/25
por lo que,
√(144/36)² / (2/5)² = 4 / (4/25) = 100/4 = 25
d) √(36/81)² / √361
(36/81) / √361
Ya que 361 = 19 ·19 = 19²
la raiz √361 = 19
por lo que la expresión es igual a (36/81) / 19
36 / (81 · 19) = 9 · 4 / (9 · 9 · 19) = 4 / (9 · 19) = 4 / 171
e) En esta expresión tenemos un término elevado a la potencia 0, cualquier número elevado a la potencia 0 es igual a 1.
por otra parte, 81 = 3^{4} y 16 = 2^{4}
(5/3)⁰ = 1
⁴√ (81/16) · (5/3)⁰ = ⁴√ (3⁴/2⁴) · 1 =
= 3 / 2
f) ∛ 64/729 ÷ 8/27
64 = 2⁶
729 = 3⁶
8 = 2³
27 = 3³
∛2⁶/3⁶ ÷ 2³/3³ = 2²/3² ÷ 2/3 = 2/3
g) ⁵√(243/32)³ / √(5)⁰
El denominador es igual a 1 ya que cualquier número con exponente 0 es igual a 1.
243 = 3⁵
32 = 2⁵
⁵√ (3⁵/2⁵)³ = 3³/2³
27/8
h) √ (1/81)² / √ (9/16)
(1/81) / √ (3²/2⁴) = (1/81) / (3/2²) = (1/81) / (3/4) =
= 1 · 4 / 81 · 3 = 4 / 243
El valor de x para que se cumpla igualdad en cada uno de los problemas esta dado em la imagen:
Usaremos propiedades varias
- Radicalización
- logaritmos
- Potencial
a)
Rescribimos la ecuacion y resolvemos de forma lineal paso a paso
[(2ˣ)⁴]² = 2⁻²⁴
Si bien sabemos las potencias de potencias tienen una propiedad de agrupación o resolución mediante sus exponentes y es que estos se pueden multiplicar uno con otros, entonces el resultado e -24 vendrá dado por
x*4*2 = -24 de aquí despejamos x
8x = -24
x = -3 es el valor la variable.
b)
Reescribimos la ecuacion de la variable Fi y exponencial x
φ⁶×φ⁷×φˣ=φ¹⁰ En este caso podemos ver que todos están multiplicando podemos determinar el valor por propiedad de igualación y propiedad de productos de potencia, nos que da que:
6 + 7 + x = 10
13 + x = 10
x = 10 - 13
x = -3 es el valor la variable.
c)
reescribimos la expresión radical y exponencial.
(∛5)ˣ=25 esta la resolvemos aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad
log(∛5)ˣ=log25 propiedad de logaritmo bajamos la x
x.log(∛5)=log25 ahora solo despejamos la variable y resolvemos la división de logaritmo
x = log(25)/log(∛5)
x= 6
d)
Rescribimos la fracción radical y exponencial
(√13/√5)ˣ = 169/25
esta la resolvemos aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad
log(√13/√5)ˣ = log(169/25) bajamos la x por propiedad
x.log(√13/√5) = log(169/25) despejamos x
x = log(169/25)/log(√13/√5) resolvemos división
x = 4, es el valor de la variable.
e)
Rescribimos la fracción radical y exponencial
(√43 / x)² = 43/49 ambos lados del ecuacion aplicamos raíz cuadrada de esta manera eliminamos el exponente 2 de la fracción izquierda
(√43 / x) = √(43/49) pasamos x al otro lado de la ecuación y despejamos de √43
x = √43/(√(43/49))
x = √49 = 7 es el valor de la variable.
f)
Reescribimos la ecuacion lineal y fraccionaria de la siguiente manera.
-6ˣ = - 1/36
esta la resolvemos aplicando logaritmo a ambos lados de la igualdad
log-6ˣ = log- 1/36 por propiedad la x la bajamos
x.log-6 = log-1/36 luego efectuamos separación y división de logaritmos
x = log(-1/36)/log(-6)
x = -2
g)
Reescribimos el modelo de ecuación combinada
(-4 × 1/3)ˣ = -64/27 de igual manera vamos aplicar logaritmos a ambos lados de la igualdad, y de forma directa vamos a bajar la x de la expresión de la izquierda a coeficiente por propiedad de logaritmo
x.log(-4 × 1/3) =log(-64/27 ) despejamos x y dividimos los logaritmos una vez mas
x = log(-64/27 )/log(-4 × 1/3)
x = 3 es le valor de la variable.
h)
Reescribimos la ecuacion exponencial y fraccionaria
(4π/x)⁻⁵ = 3125 π⁵/1024 invertimos la fracción de exponente negativa
(x/4π)⁵ = 3125 π⁵/1024 aplicamos una raíz quinta ambos lados
x/4π = ⁵√(3125 π⁵/1024 ) resolvemos la raíz y despejamos x del 1/4π
x = 4π (5/4)
x = 5π es le valor de la variable
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