Question

desde un punto del suelo, situado entre dos muros de 15m y 12m, se observan sus puntos mas altos con angulos de elevacion de 45° y 37° respectivamente, calcula la distancia de dichos muros

Answer 1

La distancia entre los dos muros es de 31 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos dados son notables.    

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.      

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad.          

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en el resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Mencionaremos los que se relacionan con el ejercicio

• El llamado 45-45 (por sus ángulos) o 1 - 1 (por sus lados)

• En este triángulo ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual. Es decir 1k, mientras que la hipotenusa medirá √2k. Donde k es una constante.  

• Otra razón para que sus catetos tengan el mismo valor es que dentro de los triángulos rectángulos es el único que puede ser isósceles - Con ángulos de 45°-45°-90°

• El llamado 37-53 (por sus ángulos) o 3-4-5 (por sus lados)

• Este triángulo tiene un ángulo de 37° y otro de 53°, donde el lado opuesto al ángulo de 37° medirá 3k, y el lado opuesto al ángulo de 53° medirá 4k y la hipotenusa medirá 5k . En donde k es siempre una constante.        

Tenemos dos triángulos ABC y CDE opuestos por el vértice en C

Los dos muros se encuentran en extremos opuestos al punto de observación

En el triángulo ABC  de 45 - 45 - el lado AB equivale a la altura de un muro - con un ángulo de elevación de 45°-, el lado BC representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C - (ubicación del observador) hasta el muro y es una incógnita "x"

En el triángulo CDE  de 37 - 53 - el lado DE equivale a la altura del otro muro - con un ángulo de elevación de 37°-, el lado CD representa la distancia desde cierto punto -ubicado en C - (ubicación del observador) hasta el muro y es una incógnita "y"

Una vez halladas las incógnitas de las distancias "x" e"y", su sumatoria será la distancia entre ambos muros

Todo este planteo se puede observar en el gráfico adjunto

Solución

Resolviendo triángulos notables

Teniendo 2 triángulos notables se resolverá el ejercicio prescindiendo de las razones trigonométricas. Se hallará el valor de la constante k,. y se determinarán las magnitudes los lados

Para ABC - 45- 45-  

Calculando la distancia "x"

El cateto opuesto al ángulo notable de 45° mide  1k - Y es la altura de un muro-

Planteamos

$\boxed {\bold { Altura \ Muro \ 1 = 15 \ metros = \ 1k}}$

Despejamos a k

$\boxed {\bold { 1k = 15 \ metros }}$

$\boxed {\bold { k = \frac{15 \ metros }{1} }}$

$\boxed {\bold { k = 15 }}$

El valor de k es 15          

El cateto opuesto en un triángulo notable de 45-45 - que representa la distancia desde el punto en tierra hasta el muro 1 y es la incógnita "x"- mide 1k

Planteamos

$\boxed {\bold { distancia\ x = 1k }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold { distancia\ x = 1 \ . \ 15 }}$

$\boxed {\bold { distancia\ x = 15 \ metros }}$

Para CDE - 37- 53-  

Calculando la distancia "y"

El cateto opuesto al ángulo notable de 37° tiene un valor de 3k  - Y es la altura del segundo muro-

Planteamos

$\boxed {\bold { Altura \ Muro \ 2 = 12 \ metros = \ 3k}}$

Despejamos a k

$\boxed {\bold { 3k = 12 \ metros }}$

$\boxed {\bold { k = \frac{12 \ metros }{3} }}$

$\boxed {\bold { k = 4 }}$

El valor de k es 4

El cateto adyacente al ángulo notable de 37° -que representa la distancia desde el punto en tierra hasta el muro 2 y es la incógnita "y"- mide 4k

Planteamos

$\boxed {\bold { distancia\ y = 4k }}$

Reemplazamos

$\boxed {\bold { distancia\ y = 4\ . \ 4 }}$

$\boxed {\bold { distancia\ y = 16 \ metros }}$

Calculamos la distancia entre los muros sumando las distancias "x" e "y"  

$\boxed { \bold { Distancia \ Entre \ Muros = distancia \ x \ +\ distancia \ y }}$

$\boxed { \bold { Distancia \ Entre \ Muros = 15 \ metros \ +\ 16 \ metros }}$

$\boxed { \bold { Distancia \ Entre \ Muros = 31 \ metros }}$