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Explicación paso a paso:
Ir a Construcciones con regla y compás (II)
Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.
La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos A y B:
POLÍGONO REGULAR DE 3 LADOS: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Es el polígono regular con menor número de lados que podemos tener. Su construcción es muy sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB y otra con centro en B y mismo radio. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos.Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazando los segmentos AP y PB obtenemos el triángulo equilátero APB.
Triángulo Equilátero
POLÍGONO REGULAR DE 4 LADOS: CUADRADO
La construcción del cuadrado también es sencilla:
Trazamos una circunferencia con centro en A y radio AB. Esa circunferencia corta al eje Y en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos P. Trazamos la recta paralela al eje X que pasa por P y la recta paralela al eje Y que pasa por B. El punto de corte de las mismas, digamos Q, es el vértice que nos faltaba. Trazando los segmentos AP, PQ y QB obtenemos nuestro cuadrado.
Cuadrado
POLÍGONO REGULAR DE 5 LADOS: PENTÁGONO REGULAR
La construcción del pentágono es algo más complicada que las anteriores, pero sigue siendo ciertamente asequible:
Trazamos la paralela al eje Y que pasa por B, digamos r. Se traza la mediatriz del segmento AB obteniendo el punto O como corte con el eje X. Trazamos la circunferencia de centro B y radio AB, digamos C1. Obtenemos el punto M como corte de C1 con la recta r. Con centro en O trazamos la circunferencia de radio OM, C2, obteniendo el punto S de corte con el eje X. Trazamos ahora la circunferencia de centro A y radio AS, C3. Obtenemos el punto P al cortar con C1 y el punto Q como corte con la mediatriz del segmento AB. Para obtener el vértice que nos falta, R, simplemente construimos el punto simétrico a P respecto de la mediatriz del segmento AB. Uniendo los vértices obtenemos el pentágono regular buscado.
Pentágono regular
POLÍGONO REGULAR DE 6 LADOS: HEXÁGONO REGULAR
La construcción del hexágono regular es bastante sencilla. La vemos:
Con radio AB trazamos circunferencias con centro A y B. Tomamos uno de los puntos de corte, digamos O. Ese es el centro del hexágono. Trazamos ahora la circunferencia de centro O y radio OA. Obtenemos los puntos P y Q como cortes con las circunferencias anteriores y R como corte con el eje Y. Trazando la paralela al eje Y que pasa por B obtenemos el último vértice, S, como corte de esta recta y la circunferencia trazada justo antes. Uniendo los vértices obtenemos el hexágono regular buscado.
Hexágono regular
POLÍGONO REGULAR DE 7 LADOS: HEPTÁGONO REGULAR
El heptágono regular no es construible con regla y compás. Vamos a ver por qué:
Viendo las construcciones anteriores de otra forma, mediante la relación de los puntos del plano con los números complejos, para construir un polígono regular de n lados debe ser construible el número complejo z=cos(\frac{2\pi}{n})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{n}). En el caso del heptágono debería ser construible el punto z=cos(\frac{2\pi}{7})+i \cdot sen(\frac{2\pi}{7}). Tenemos que el polinomio x^7-1 tiene a z como raíz. La descomposición en polinomios irreducibles en \mathbb{Q} queda así: (x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1). Como z no es raíz de (x-1) debe serlo del otro factor. Pero el grado del mismo es 6, y ya vimos que para que un punto fuera construible el grado de su polinomio mínimo irreducible en \mathbb{Q} debía ser una potencia de 2. Por tanto no podemos construir el número complejo z y en consecuencia tampoco el heptágono regular.
Ya hemos encontrado el primero que no puede construirse con regla y compás. Si continuáramos nos daríamos cuenta de que el polígono regular de 8 lados sí es construible pero el de 9 lados no lo es. Y ahora la pregunta es bastante evidente: ¿sabemos qué polígonos regulares son construibles con reglas y compás? Por suerte sí. Y nuestro idolatrado Gauss es uno de los principales culpables, probablemente el que más. Vamos con el resultado:
Teorema: (Construcción de polígonos regulares con regla y compás)
Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás en el sentido expuesto si y sólo si la descomposición en factores primos de n es de la forma
n=2^r \cdot p_1 \cdot \ldots \cdot p_k
siendo r \ge 0 y los p_i primos de Fermat distintos entre sí (recordemos que un primo de Fermat es un número primo que sea de la forma 2^{2^n}+1).
Respuesta:
Ochenta millones treinta y seis mil doscientos.
Explicación paso a paso: