CEMENTOS FORTE SAC vende q toneladas de cemento al precio de p dólares cada tonelada, donde p = 900 - 0,5q. Además, los costos diarios en dólares de producir q toneladas de cemento se determinan mediante C = 300q + 80 000 Determine el intervalo al que pertenece q para que la utilidad diaria sea al menos 20 000 dólares.
Respuestas
Respuesta:
C=300q+80000
I=p.q=(900-0,5q)(q)
I=900q-0,5q²
U=I-C
U=900q-0,5q²- (300q+80000)
U=-0,5q²+600q-80000
-0,5q²+600q-80000 ≥ 20000
-0,5q²+600q-80000-20000 ≥ 0
-1/2q²+600q-100000≥0
-q²+12000q-200000≥0
-q+1000q+200q-200000≥0
-q(q-1000)+200(q-1000)≥0
-(q-1000)(q-200)≥0
(q-1000)(q-200)≤0
q=1000 o q=200
q ∈ [200;1000]
Explicación paso a paso:
En el primer paso utilizamos las formulas de ingreso y utilidad, después se usa la inecuación cuadrática para poder llegar a la respuesta.
El nivel de ventas debe estar entre 200 y 1000 toneladas de cemento para que CEMENTOS FORTE SAC para que la utilidad diaria sea al menos 20000 dólares.
Explicación paso a paso:
La función utilidad (G) viene dada por la diferencia entre la función Ingreso Total (I) y la función Costo Total (C)
La función C está expresada en el enunciado y la función I se calcula mediante el producto entre la función precio de venta unitario (p) y la cantidad de unidades vendidas (q).
Entonces
G = I - C = p*q - C = (900 - 0,5q)*q - (300q + 80000) ⇒
G = -0,5q² + 600q - 80000
Se desea conocer el intervalo de valores de q para que la función G sea igual o mayor a 20000
-0,5q² + 600q - 80000 ≥ 20000
Debemos resolver esta inecuación para dar respuesta a la interrogante planteada:
-0,5q² + 600q - 100000 ≥ 0
Vamos a multiplicar por -2 para dejar positivo el término de mayor grado y con coeficiente unitario. Esto, por supuesto, cambia el sentido de la desigualdad
q² - 1200q + 200000 ≤ 0
Factorizamos usando la técnica de binomios con término semejante
(q - 200)(q - 1000) ≤ 0
El valor de q debe estar entre 200 y 1000 para que se cumpla la desigualdad.
q pertenece al intervalo 200 < q < 1000; es decir, el nivel de ventas debe estar entre 200 y 1000 toneladas de cemento para que CEMENTOS FORTE SAC para que la utilidad diaria sea al menos 20000 dólares.
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