Question

calcula la ecuacion de la parabola formada por los puntos que equisistan de la recta x+y+1=0 y de foco F(1,2)

Answer 1

La parábola es el conjunto de puntos que equidistan del foco y de la recta directriz.

Sea (u, v) el conjunto de puntos. (uso u y v para no confundir con x y)

Distancia al foco: d = √[(u - 1)² + (v - 2)²]

Distancia a la recta directriz: d = (u + v + 1) / √(1² + 1²)

Son iguales: √[(u - 1)² + (v - 2)²] = (u + v + 1) / √2

Trasponemos la raíz al primer miembro y elevamos al cuadrado

2 [(u - 1)² + (v - 2)²] = (u + v + 1)²; quitamos los paréntesis:

2 u² - 4 u + 2 v² - 8 v + 10 = u² + 2 u v + 2 u + v² + 2 v + 1

Trasponemos al primer miembro y reducimos términos semejantes:

u² + v² - 2 u v - 6 u - 10 v + 9 = 0

Podemos volver a (x, y)

x² + y² - 2 x y - 6 x - 10 y + 9 = 0 es la ecuación de la parábola.

La presencia del término rectangular (- 2 x y) indica que los ejes de la curva no son paralelos a los ejes coordenados.

Adjunto gráfico.