Situación 1: El Instituto Geofísico del Perú (IGP) informó que el último sismo registrado en la región Arequipa tuvo una magnitud de 4 grados en la escala de Richter. Según el reporte de dicho instituto, el epicentro se localizó a 4,2 km este y 3,8 km sur del centro de la ciudad de Camaná. Además, se sabe que alcanzó una profundidad de 20 kilómetros con un radio de 4,5 km a la redonda. ¿Dicho sismo afectó a la ciudad de Camaná? Situación 2: El servicio sismológico de Baja California detectó un sismo con origen en la ciudad de Mexicali a 5 km este y 3 km sur del centro de la ciudad, con un radio de 4 km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada? ¿Afectó el centro de la ciudad de Mexicali? Situación 3: En el departamento de Arequipa, se ha registrado un sismo que tuvo una magnitud de 5 grados en la escala de Richter, según el reporte del Instituto Geofísico del Perú, el epicentro se ubicó a 10 km al este y 6 km al sur del centro de la provincia de Caravelí. Además, se sabe que alcanzó una profundidad de 20 km con un radio de 30 km. Un cable de alta tensión cae exactamente en el límite norte de la zona afectada y paralela al eje X del efecto de las ondas sísmicas. a. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que nos permitirá determinar el límite del efecto de las ondas sísmicas? b. ¿Cuál es el límite máximo ubicado al norte y paralelo al eje X del efecto de las ondas sísmicas donde cae el cable de alta tensión? Situación 4: La plaza Bolognesi ubicada a 5 km al sur y 3 km al oeste del centro de Lima tiene un diámetro de 0,1 km, aproximadamente. Si ocurriera un sismo 7 grados en la escala de Richter, siendo allí el epicentro, y un poste de luz se derrumba sobre el borde ubicado en el extremo superior de la plaza. a. ¿Cuál sería la ubicación donde cae el poste? b. ¿Cuál sería la ecuación de la recta que representa el poste? c. Si el epicentro se ubicaría en la zona norte, interceptando en el extremo superior y tendría un diámetro de 0,2 km, ¿cuál sería la ecuación de la circunferencia que se generaría? Situación 5: En la municipalidad de una provincia del país, el alcalde proyecta construir un puente de 20 metros de largo por 3 metros de ancho, una construcción que el pueblo necesita y debe servir por muchos años. Le han recomendado utilizar cilindros congruentes, de alta duración. Al buscar información, encuentra que la altura de los cilindros es de 3 metros y solo cuenta con la información de la ecuación de la base de cada cilindro: x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0. ¿Cuántos cilindros debe el alcalde autorizar comprar al ingeniero encargado de construir el puente?
Respuestas
Respuesta:
*Aqui te dejo un documento con todo los problemas resueltos *
La aplicando la recta tangente y sus posiciones relativas a la circunferencia para resolver diversas situaciones se obtiene:
Situación 1.
¿Dicho sismo afectó a la ciudad de Camaná?
Para determinar cómo afecta un sismo, este es modelado como una serie de circunferencias.
La ecuación de una circunferencia es:
(x-h)² + (y-k)² = r²
- El centro (h, k): c = (4,2 ; -3,8) km
- Su radio r: r = 4,5 km
Sustituir;
(x-4,2)² + (y+3,8)² = (4,5)²
Longitud de la ciudad al epicentro del sismo se obtiene aplicando formula de distancia entre dos puntos:
d = √[(x₁-x₀)²+(y₁-y₀)²]
sustituir;
d = √[(4,2-0)²+(-3,8-0)²]
d = 5,6 km
Si ubicamos la circunferencia en el plano cartesiano siendo el origen la ubicación de la ciudad de Camaná, para que esta se vea afectada el radio de la circunferencia debe alcanzar a la ciudad.
Si el radio de la que abarca el sismo es 4,5 km y la longitud desde el centro de la ciudad al epicentro es 5,6 km. Se determina que el sismo no afecta a la ciudad de Camaná.
Situación 2.
¿Cuál es la ecuación de la circunferencia del área afectada?
La ecuación de una circunferencia es:
(x-h)² + (y-k)² = r²
- El centro (h, k): c = (5 ; -3) km
- Su radio r: r = 4 km
Sustituir;
(x-5)² + (y+3)² = (4)²
(x-5)² + (y+3)² = 16
El área de la circunferencia:
A = π · r²
Sustituir;
A = π·(4)²
A = 16π km² o 50,26 km²
¿Afectó el centro de la ciudad de Mexicali?
Aplicando formula de distancia entre dos puntos:
d = √[(5-0)²+(-3-0)²]
d = 5,83 km
Implica que la distancia del centro de la ciudad de Mexicali al epicentro del sismo es mayor al radio que abarca el sismo.
Situación 3.
a. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que nos permitirá determinar el límite del efecto de las ondas sísmicas?
La ecuación de una circunferencia es:
(x-h)² + (y-k)² = r²
- El centro (h, k): c = (10 ; -6) km
- Su radio r: r = 30 km
Sustituir;
(x-10)² + (y+6)² = (30)²
(x-10)² + (y+6)² = 900
b. ¿Cuál es el límite máximo ubicado al norte y paralelo al eje X del efecto de las ondas sísmicas donde cae el cable de alta tensión?
Evaluar en la ecuación x = 10;
(10-10)² + (y+6)² = 900
(y+6)² = 900, Aplicar raíz cuadrada.
y + 6 = 30
y = 30 -6
y = 24 km
Situación 4.
La ecuación de una circunferencia es:
(x-h)² + (y-k)² = r²
- El centro (h, k): c = (-3 ; -5) km
- Su diámetro d: r = d/2 = 0,1/2 = 0,05 km
Sustituir;
(x+3)² + (y+5)² = (0,05)²
(x+3)² + (y+5)² = 0,0025
a. La ubicación donde cae el poste:
Evaluar en la ecuación x = -3;
(y+5)² = (0,05)²
y + 5 = 0,05
y = 0,05-5
y = -4,95 km
El poste cae 3 km oeste y 4,95 km sur.
b. Una recta se construye conocida su pendiente y un punto.
y = mx + b
Si m = 0; punto (-3; -4,95)
y = b; sustituir
y = -4,95
c. La coordenada k del centro de la circunferencia está en el norte por lo tanto se suma el radio de la nueva circunferencia:
- k = -4,95 + r
- r = d/2 = 0,2/2 = 0,1 km
k = -4,95 +0,1
k = -4,85 km
La ecuación de una circunferencia es:
(x-h)² + (y-k)² = r²
El centro de la circunferencia es (h, k): c = (-3 ; -4,85) km
Su radio d: r = 0,1 km
Sustituir;
(x+3)² + (y+4,85)² = (0,1)²
(x+3)² + (y+4,85)² = 0,01
Situación 5.
¿Cuántos cilindros debe el alcalde autorizar comprar al ingeniero encargado de construir el puente?
Si el puente se va a construir con cilindros, la suma de los diámetros de las bases de los cilindros debe ser igual a los 20 metros, que es le largos de dicho puente ya que la altura de los cilindros coincide con el ancho del puente.
x² + y² – 2x – 2y – 2 = 0
Agrupar;
x² – 2x + y²– 2y = 2
Aplicar binomio cuadrado: (a-b)² = a² - 2ab + b²
2ab = 2x
a = x
b = 1
Sumar 1 a ambos lados;
(x² – 2x + 1) + (y²– 2y) = 2+ 1
Sumar 1 a ambos lados;
(x - 1)² + (y²– 2y + 1) = 3 + 1
(x - 1)² + (y- 1)² = 4
Por tanto;
r = √4
r = 2 m
El diámetros es d= 2r;
d = 2(2)
d = 4 m
La cantidad de cilindros es:
N = 20/4
N= 5 cilindros
