Question

es para mañana en la tarde ajuda. 20 puntitos ´porfa Sobre una caja de masa 5 kg se aplica una fuerza F con un ángulo de 37 con la horizontal Entre la caja y el suelo hay rozamiento Determinar la fuerza mínima que se debe aplicar para que el cuerpo se empiece a mover y una vez en movimiento el valor de dicha fuerza para que la caja se mueva con una velocidad constante de 10 m/s Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico son respectivamente 0 5 y 0 2

Answer 1

Respuesta:

$F_{min}=22.28\ N\\\\F_{mru}=10.66\ N$

Explicación:

Lo primero es hacer un diagrama de cuerpo libre de la situación (ver figura)

Datos:

$m=5\ kg\\g=9.8\ m/s^2\\\beta =\ 37^\circ\\\eta_s=0.5\\\eta_k=0.2$

($\eta _s$ y $\eta_k$ son los coeficientes adimensionales estáticos y dinámicos respectivamente)

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Al utilizar un sistema de coordenadas cartesiano en el diagrama de cuerpo libre, se ubicaran todas las fuerzas en la dirección de los ejes coordenados, y aquellas que formen un ángulo (como la fuerza aplicada) deberán descomponerse en la dirección de dichos ejes.

Por lo cual,    

                                         $\vec F=\vec F_x+\vec F_y$

Con un poco de trigonometría...

                                        $F_x=F\cdot Cos(\beta )\\\\F_y=F\cdot Sen(\beta )$

Como el cuerpo se encuentra en reposo, la sumatoria de todas las fuerzas en la dirección de cada eje deberá ser cero.

En el eje (y) tenemos

                                       $N+F_y-P=0$

donde el peso (P) es  

                                       $P=m\cdot g$

Así la fuerza normal será

                                      $N=(m\cdot g)-F_y$

En el eje (x) tenemos

                                      $F_x-F_r=0$

Donde la fuerza de roce con el cuerpo en reposo es

                                      $F_r=\eta_s\cdot N$

Así la fuerza de la componente (x) es

                                     $F_x=\eta_s\cdot N$

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Sustituimos todo lo anterior en esta última ecuación

                           $F_x=\eta_s\cdot N\\\\F_x=\eta_s\cdot(m\cdot g-F_y)\\\\F_x+\eta_s\cdot F_y=\eta_s\cdot m\cdot g\\\\F\cdot Cos(\beta )+\eta_s\cdot F\cdot Sen(\beta )=\eta_s\cdot m\cdot g\\\\F\cdot \big (Cos(\beta )+\eta_s\cdot Sen(\beta )\big )=\eta_s\cdot m\cdot g\\\\\ \boxed {F=\dfrac{\eta_s\cdot m\cdot g}{Cos(\beta )+\eta_s\cdot Sen(\beta )}}$

Si el sistema se encuentra en equilibrio, la fuerza (F) será la mínima para que esto ocurra.

Siendo $F_{min}$ la fuerza mínima para mantener el reposo y sustituyendo valores.

                             $F_{min}=\dfrac{\eta_s\cdot m\cdot g}{Cos(\beta )+\eta_s\cdot Sen(\beta )}\\\\\\F_{min}=\dfrac{(0.5)\cdot (5)\cdot (9.8)}{Cos(37^\circ)+(0.5)\cdot Sen(37^\circ )}\\\\\\\ F_{min}=\dfrac{24.5}{1.0995}\\\\\\\boxed {F_{min}=22.28\ N}$

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Ahora bien, una vez superada esta fuerza el objeto comienza a moverse; y al mismo tiempo el coeficiente de rozamiento cambia de estático (s) a dinámico (k).

Así, para mantener un movimiento con velocidad constante (aceleración cero), nuevamente la sumatoria de  las fuerzas en el eje (x) debe ser cero; y por lo cual, la componente (x) de la fuerza aplicada debe ser igual a la fuerza de roce.

De esta manera la fórmula será la misma obtenida anteriormente, con la salvedad de que el coeficiente pasa a ser el dinámico y la fuerza $F_{mru}$ será la exacta para un movimiento a velocidad constante (MRU: movimiento rectilineo uniforme)

                             $F_{mru}=\dfrac{\eta_k\cdot m\cdot g}{Cos(\beta )+\eta_s\cdot Sen(\beta )}$

Sustituyendo valores...

                           $F_{mru}=\dfrac{\eta_k\cdot m\cdot g}{Cos(\beta )+\eta_s\cdot Sen(\beta )}\\\\\\F_{mru}=\dfrac{(0.2)\cdot (5)\cdot (9.8)}{Cos(37^\circ)+(0.2)\cdot Sen(37^\circ )}\\\\\\\ F_{mru}=\dfrac{9.8}{0.919}\\\\\\\boxed {F_{mru}=10.66\ N}$

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Nota 1

Decimos que el valor de $F_{mru}$ es un valor exacto, para mantener un movimiento a velocidad constante; porque si el valor de esta fuerza   aumenta, entonces el móvil comienza acelerar aumentando su velocidad; por el contrario si disminuye, el móvil debido a la fuerza de roce comienza a desacelerar disminuyendo su velocidad hasta detenerse.

Nota 2

Apreciemos que el valor dado de la velocidad constante (10 m/s), no es utilizado para ningún cálculo en el ejercicio. Podría ser útil para calcular tiempos de aceleración o desaceleración (pero esto no lo preguntan... XD)

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