Question

Determinar si T: R4 ⇢ R2 , definida por T( x1 , x2 , x3, x4) =( x1 + x3 , x2 + x4) es una transformación lineal

Answer 1

Una transformación se considera lineal si cumple con dos propiedades:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u)
Siendo u y v dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial y k una constante escalar.

La transformación en consideración es:
T:R⁴--->R²/T(x₁,x₂,x₃,x₄) = (x₁ + x₃, x₂ + x₄)

Sean los vectores u y v pertenecientes a R⁴
u = (z₁,z₂,z₃,z₄)
v = (y₁,y₂,y₃,y₄)

u + v = (z₁,z₂,z₃,z₄) +  (y₁,y₂,y₃,y₄) = (z₁ + y₁, z₂ + y₂, z₃ + y₃, z₄ + y₄)

T(u + v) = T(z₁ + y₁, z₂ + y₂, z₃ + y₃, z₄ + y₄) =
(z₁ + y₁ + z₃ + y₃,  z₂ + y₂ + z₄ + y₄)

T(u) = T(z₁,z₂,z₃,z₄) = (z₁ + z₃, z₂ + z₄)
T(v) = T(y₁,y₂,y₃,y₄) = (y₁ + y₃, y₂ + y₄)

T(u) + T(v) =  (z₁ + z₃, z₂ + z₄) + (y₁ + y₃, y₂ + y₄) = (z₁ + y₁ + z₃ + y₃,  z₂ + y₂ + z₄ + y₄)

Se cumple la primer propiedad. Ahora estudiamos la segunda con el vector u como ejemplo.

k.u= k(z₁,z₂,z₃,z₄) = (k.z₁,k.z₂,k.z₃,k.z₄)
T(k.u) = T(k.z₁,k.z₂,k.z₃,k.z₄) = (kz₁ + kz₃, kz₂ + kz₄) = (k(z₁ + z₃), k(z₂ + z₄)) = k(z₁ + z₃, z₂ + z₄) = kT(u)

Dado que se cumplen las dos propiedades, se trata de una transformación lineal.

Cualquier duda a las órdenes.