Question

Desconpon el numero 349 en cinco maneras distintas

Answer 1

Las formas de determinante −1 y −2 est´an sujetas a ciertas excepciones, as´ı que diremos un poco sobre ellas como caso particular. Empezamos con la observaci´on general de que si ϕ y ϕ0 son dos formas binarias equivalentes cualesquiera, (Θ) una transformaci´on dada de la primera en la segunda, entonces combinando cualquiera de las representaciones de ϕ por la forma ternaria f con la sustituci´on (Θ), se obtiene una representaci´on de la forma ϕ0 por f. Adem´as a partir de las representaciones propias de ϕ obtenemos las representaciones propias de la forma ϕ0 , a partir de representaciones distintas de ϕ obtenemos representaciones distintas de ϕ0 y si tomamos todas las representaciones de la primera obtendremos todas las representaciones de la segunda. Todo esto se puede comprobar mediante c´alculos muy sencillos. Por lo tanto una de las formas ϕ y ϕ0 es representable por f de tantas maneras distintas como lo es la otra. I. Primero sea ϕ = t 2 + u2 y ϕ0 una forma binaria positiva cualquiera de determinante −1, a la cual ϕ es equivalente. Sea t = αt0 + βu0 , u = γt0 + δu0 la sustituci´on que transforma ϕ en ϕ0 . La forma ϕ se representa por la forma ternaria f = x2 + y2 + z2, poniendo x = t, y = u, z = 0; permutando x, y, z resultan seis representaciones, y a partir de cada una de ´estas, cuatro m´as cambiando los signos de t y u. As´ı pues habr´a en total 24 representaciones que corresponden a s´olo una descomposici´on en tres cuadrados. Es f´acil ver que no habr´a ninguna otra representaci´on salvo ´estas. Y se concluye que la forma ϕ0 se puede descomponer en tres cuadrados de s´olo una manera, a saber, (αt0 + βu0 )2, (γt0 + δu0 )2 y 0. Esta descomposici´on ser´a equivalente a las 24 representaciones. II. Sea ϕ = t 2+2u2, ϕ0 cualquier otra forma binaria positiva de determinante −2, en la cual se transforma ϕ mediante la sustituci´on t = αt0 + βu0 , u = γt0 + δu0 . Entonces de manera similar que en el caso anterior concluimos que ϕ y tambi´en ϕ0 se pueden descomponer en tres cuadrados de manera ´unica, a saber, ϕ en t 2 + u2 + u2 y ϕ0 en (αt0 + βu0 )2 + (γt0 + δu0 )2 + (γt0 + δu0 )2; es obvio que esta descomposici´on es equivalente a las 24 representaciones. De todo esto se sigue que las formas binarias de determinante −1 y −2 en cuanto al n´umero de representaciones por la forma ternaria x2 + y2 + z2 son completamente iguales a las otras formas binarias; puesto que en ambos casos tenemos μ = 0, la f´ormula dada en IV del art´ıculo anterior dar´a las 24 representaciones. La raz´on para esto es que las dos excepciones a las cuales est´an sujetas estas formas se compensan mutuamente.

Answer 2

300+40+9
100+100+100+10+10+10+10+1+1+1+1+1+1+1+1+1