Question

un árbol inclinado 25° de Vertical, esta sujeto por un cable desde un punto de 12 m de la base del arbol. si el ángulo de elevación del cable es 20°, cálculo su longitud y altura del arbol​

Answer 1

La longitud del cable es de aproximadamente 10,92 metros. La altura del árbol es de aproximadamente 4,12 metros

Procedimiento:

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

En nuestro imaginario triángulo este está conformado por el lado AC (b) que representa la altura del árbol inclinado, el lado AB (c) que equivale a la distancia desde cierto punto donde se encuentra el cable de sujeción hasta la base del árbol, y el lado BC (a) que representa la longitud del cable hasta el árbol con un ángulo de elevación de 20°

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{b}{sen (\beta) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Conocemos el valor de un lado y de un ángulo, vamos a hallar el valor de los dos ángulos faltantes

Hallando el ángulo α - Para conocer la inclinación del árbol

Sucede que el árbol al alejarse de la vertical se inclina 25° en el sentido de las agujas del reloj con respecto a la linea vertical, es decir se inclina hacia el plano del suelo.

Vamos a calcular la inclinación del árbol desde su base ubicada en el punto A  

Si el árbol no se hubiese inclinado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo  o la línea horizontal. Por tanto estaríamos planteando el ejercicio en un imaginario triángulo rectángulo

Por lo tanto vamos a restar de 90° los 25° que se alejó - o que se inclinó - de la vertical para hallar su ubicación

$\boxed { \bold { \alpha = 90\° - 25\° = 65\° } }$

Hallando el valor del ángulo  γ                                                              

Por enunciado sabemos un valor de los ángulos del triángulo y en el paso anterior hemos hallado al segundo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed { \bold { 180\° = 20\° \ + \ 65\° \ + \ \gamma}}$

$\boxed { \bold { \gamma = 180\° \ - 20\° \ - \ 65\° }}$

$\boxed { \bold { \gamma = 95\° }}$

Conocemos ahora el valor de los tres ángulos y de un lado del triángulo que representa el problema dado. Hallaremos el valor de los otros dos lados empleando la ley del seno.

Se adjunta el gráfico correspondiente al ejercicio para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y sus ángulos    

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{b}{sen (\beta) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

Calculando la altura del árbol (lado AC = b)

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen (\beta) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{b}{sen (20)\° } = \frac{12 \ metros}{sen (95)\°} }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{12 \ metros \ . \ sen (20)\° }{sen (95)\°} }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{12 \ metros \ . \ 0,342020143325} {0,9961946980917 } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{4,10424117199080 \ metros } {0,9961946980917 } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 4,11991 \ metros }}$

$\boxed {\bold { b \approx 4,12 \ metros }}$

La altura del árbol es de ≅ 4,12 metros

Hallando la longitud del cable de sujeción (lado BC = a)

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (\alpha) } = \frac{c}{sen (\gamma)} }}$

$\boxed {\bold { \frac{a}{sen (65)\° } = \frac{12 \ metros}{sen (95)\°} }}$

$\boxed {\bold { a = \frac{12 \ metros \ . \ sen (65)\° }{sen (95)\°} }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{12 \ metros \ . \ 0,9063077870366 } {0,9961946980917 } }}$

$\boxed {\bold { b = \frac{10,875693444439 \ metros } {0,9961946980917 } }}$

$\boxed {\bold { b \approx 10,9172 \ metros }}$

$\boxed {\bold { b \approx 10,92 \ metros }}$

La longitud del cable es de ≅ 10,92 metros