Question

Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de materiales de modo que contenga un volumen 16 pies3 . El material para la tapa y el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta $0.12 por pie cuadrado. (a)Obtenga un modelo matemático que exprese el costo total del material como una función de las dimensiones, las partes delanteras y trasera. Determine el dominio de la función. (b)¿Cuál es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja?

Answer 1

Tema: Desarrollo de un modelo matemático.

a) Función

$f(x,z)=0.32xz+\frac{3.84z+5.76x}{xz}, \text{ z= altura}$

b) Costo

$\ 5.92$

Explicación paso a paso:

El problema nos habla de una caja rectangular de volumen igual a $16ft^3$. La formula para el volumen de esta figura es:

$V=l*a*h$

l= Largo

a= ancho

h= alto

Además sabemos por el problema que la caja esta hecha de 3 materiales.

$\begin{tabular}{ c | c | c }Material & Sitio & Costo por ft^2\\1 & Tapa y fondo & \ 0.18\\2 & frontal y trasera & \ 0.16\\3 & izquierda y derecha & \ 0.12\\\end{tabular}$

Ahora bien, utilizaremos 3 variables "x" representará  el largo,  "y" el ancho y finalmente "z" el alto. Te adjunto una imagen.

De esta forma, el área $A_1$ correspondiente a la tapa y el fondo será:

$A_1=x*y$

Y el costo $C_1$ sería:

$C_1= 0.18*(2x*y)\\C_1= 0.36x*y$

El área $A_2$ correspondiente a la parte trasera y delantera será:

$A_2=x*z$

Y el costo $C_2$ sería:

$C_2= 0.16*(2x*z)\\C_2= 0.32x*z$

Y finalmente el área $A_3$ correspondiente a las dos caras restantes será:

$A_2=y*z$

Y el costo $C_3$ sería:

$C_3= 0.12*(2y*z)\\C_3= 0.24y*z$

Te adjunto otra imagen representando esto último.

Con esto podemos representar el modelo matemático para el costo total como:

$C_t=C_1+C_2+C_3$

$\boxed{C_t=0.36xy+0.32xz+0.24yz}$               Ec.1

Además sabemos que el volumen total es:

$V_t=x*y*z\\\\ \boxed{16=xyz}$                 Ec.2

Recordemos, queremos que la ecuación este en función de la parte delantera y trasera, es decir "xz"

Despejamos y de la ecuación 2:

$\boxed{y=\frac{16}{xz}}$                       Ec.3

Sustituimos en ecuación 1 y resolvemos:

$C_t=0.36x(\frac{16}{xz})+0.32xz+0.24(\frac{16}{xz})z\\\\C_t=\frac{5.76}{z}+0.32xz+\frac{3.84}{x}\\\\C_t=0.32xz+\frac{3.84}{x}+\frac{5.76}{z}\\\\C_t=0.32xz+\frac{3.84z+5.76x}{xz}$

Entonces la función en términos de las dimensiones de la parte trasera y delantera sería:

$\boxed{f(x,z)=0.32xz+\frac{3.84z+5.76x}{xz}}$

Finalmente:

"el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja"

$f(x,z)=0.32(2)(4)+\frac{3.84(4)+5.76(2)}{(2)(4)}\\\\f(x,z)=\ 5.92$