Question

en cuantos ceros termina el 428 factorial en base 35

Answer 1

Respuesta:

70

Explicación paso a paso:

428! = 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 427 x 428

Si definimos el operador / como la división entera, es decir, el cociente de la división, entonces:

428 / 125 = 3 múltiplos de 5³

428 / 25 = 17 múltiplos de 5²

Si restamos los que también son múltiplos de 5³ entonces quedan 17 - 3 = 14 múltiplos de 5²

428 / 5 = 85 múltiplos de 5.

Si restamos los que son múltiplos de 5³ y 5² nos quedan 85 - 3 - 14 = 68

En la descomposición en factores primos de 428! tenemos:

$(5^3)^3\cdot (5^2)^{14}\cdot 5^{68}=5^{105}$

Del mismo modo para el 7:

428 / 343 = 1 múltiplo de 7³

428 / 49 = 8 múltiplos de 7².

Si restamos los que también son múltiplos de 7³ nos quedan 8 - 1 = 7 múltiplos de 7².

428 / 7 = 61 múltiplos de 7

Si restamos los que son múltiplos de 7³ y de 7² nos quedan 61 - 1 - 7 = 53

En la descomposición en factores primos de 428! tenemos:

$(7^3)^1\cdot (7^2)^7\cdot 7^{53}=7^{70}$

Eso significa que podemos descomponer 428! como:

$5^{70}\cdot 7^{70}\cdot k$

$=35^{70}\cdot k$

Siendo k un número que no es múltiplo de 35.

Si un número tal lo pasamos a base 35, tendrá 70 ceros, del mismo modo que un número que sea igual a una potencia p de 10 multiplicada por un número que no sea múltiplo de 10, da lugar a p ceros en base 10.