Question

En un triángulo rectángulo el cateto mayor es el triple del cateto menor menos una unidad y la hipotenusa es el cateto mayor más dos unidades. ¿Cuál es la longitud de la hipotenusa? a)12 c)36 b)35 d)37

Answer 1

Respuesta:

La longitud de la hipotenusa es 37. La respuesta es la d).

Explicación paso a paso:

En un triángulo rectángulo:

Usaremos el Teorema de Pitágoras:

$a^{2}+ b^{2}= c^{2}$

Donde:

a: cateto mayor

b: cateto menor

c: hipotenusa

Con el enunciado dado representaremos los valores en ecuaciones.

el cateto mayor es el triple del cateto menor menos una unidad:

$a = 3b-1$

la hipotenusa es el cateto mayor más dos unidades:

$c = a+2$

Sustituimos cada término en el Teorema de Pitágoras:

$\left(3b-1\right)^2+b^2=\left(\left(3b-1\right)+2\right)^2$

$10b^2-6b+1=9b^2+6b+1$

$10b^2-6b=9b^2+6b$

$10b^2-6b-6b=9b^2$

$10b^2-12b=9b^2$

$10b^2-12b-9b^2=0$

$b^2-12b=0$

Resolvemos con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\mathrm{Donde:\:}\quad a=1,\:b=-12,\:c=0:\quad b_{1,\:2}=\frac{-\left(-12\right)\pm \sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}$

$x_{1}=\frac{-\left(-12\right)+\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}=\frac{12+\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}=\frac{12+\sqrt{144}}{2}=\frac{12+12}{2}=\frac{24}{2}=12$

$x_{2} =\frac{-\left(-12\right)-\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}=\frac{12-\sqrt{\left(-12\right)^2-4\cdot \:1\cdot \:0}}{2\cdot \:1}=\frac{12-\sqrt{144}}{2}=\frac{12-12}{2}=\frac{0}{2}=0$

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

$b=12\:,\:\:b=0$

Sabiendo que es un triángulo rectángulo.

La longitud de su cateto menor es 12.

hallar la longitud de la hipotenusa:

$c = a+2$

$c=(3b-1)+2$

$c=(3(12)-1)+2$

$c=(36-1)+2$

$c=35+2$

$c=37$