Question

¿cual es el foco de la parabola cuya ecuacion 5y^2+30y+x+50=0 y  x^{2} -4y+8=0

Answer 1

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es \,(y-k)^2=4p(x-h).
Con lo cual llegaremos a una ecuacion parecida apartir de tu ecuacion:
5y^2 + 30y + x + 50 = 0 (factorizamos el 5 del y^2)
5(y^2 + 6y + 9) - 5(9) + x + 50(formamos cuadrados sumandole y restandole 45 = 5(9))
Con lo que nos quedaria:
5(y + 3)^2 - 45 + x + 50 = 0
5(y + 3)^2 + x + 5 = 0
5(y + 3)^2 = -(x + 5)
(y + 3)^2 = -1/5(x + 5) la cual se parece a (y-k)^2=4p(x-h)
Con lo cual obtenemos: k = -3 , 4p = -1/5 ----> p = -1/20 , h = -5
Con lo que tenemos el vertice y el foco:
V(-5 , -3) y F(-5 + (-1/20) , -3) = F(-101/20 , -3)