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Explicación paso a paso:
1) ⁴√1 + (x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)
⁴√1 + (x²-1)(x²+1)(x⁴+1) =
⁴√1 + (x⁴-1)(x⁴+1) =
⁴√1 + (x⁸-1) =
⁴√1 + x⁸ - 1 =
⁴√x⁸ =
x²
2) Dos números:
Número 1: x
Número 2: y
x + y = 5√3 (1)
x * y = 16 (2)
(x + y)² = ?
Elevando la ec. (1) al cuadrado
(x + y)² = (5√3)²
(x + y)² = 5²(√3)²
(x + y)² = 25*3
(x + y)² = 75
3) Efectuar (√7 + √2)² - (√7 - √2)²
[(√7)² + √7√2 + √7√2 + (√2)²] - [(√7)² - √7√2 - √7√2 + (√2)²] =
(7 + 2√7√2 + 2) - (7 - 2√7√2 + 2) =
7 + 2√7√2 + 2 - 7 + 2√7√2 - 2 =
7 - 7 + 2√7√2 + 2√7√2 + 2 - 2 =
4√7√2
4) a + b = √11 (1)
ab = 4 (2)
Hallar: F = (a³ + b³)/(a² + b²)
En la ec. (1) elevamos los términos al cuadrado;
(a + b)² = (√11)²
a² + 2ab + b² = 11
a² + b² = 11 - 2ab
Reemplazando valor de ec. (2)
a² + b² = 11 - 2(4)
a² + b² = 11 - 8
a² + b² = 3
Ahora elevando la ec. (1) al cubo;
(a + b)³ = (√11)³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 11√11
a³ + b³ = 11√11 - 3a²b - 3ab²
Si despejamos variables de la ec. (2)
a = 4/b y b = 4/a
Tenemos:
a³ + b³ = 11√11 - 3a²(4/a) - 3(4/b)b²
a³ + b³ = 11√11 - 12a - 12b
a³ + b³ = 11√11 - 12(a + b)
Reemplazando valor de ec. 1
a³ + b³ = 11√11 - 12√11
a³ + b³ = -√11
Entonces reemplazar valores en F;
F = (a³ + b³)/(a² + b²)
F = -√11/3
5) Si x + 1/x = 4
Calcular x³ + x-³
Elevamos al cubo la ec. (1) tomando ambos como términos independientes;
(x + 1/x)³ = (4)³
x³ + 3x²(1/x) + 3x(1/x)² + (1/x)³ = 64
x³ + 3x + 3/x + x-³ = 64
x³ + 3(x + 1/x) + x-³ = 64
x³ + 3(4) + x-³ = 64
x³ + x-³ = 64 - 12
x³ + x-³ = 52
6) Calcular suma de sus cubos;
a + b = 10
ab = 22
De dónde a = 22/b y b = 22/a
Elevando la ec. al cubo
(a + b)³ = (10)³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 1000
a³ + 3a²(22/a) + 3(22/b)b² + b³ = 1000
a³ + 66a + 66b + b³ = 1000
a³ + 66(a + b) + b³ = 1000
a³ + 66(10) + b³ = 1000
a³ + b³ = 1000 - 660
a³ + b³ = 340
7) Calcular ab;
Si a³ + b³ = 279
a + b = 3
Si elevamos la expresión:
(a + b)³ = (3)³
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = 27
a³ + 3ab(a + b) + b³ = 27
a³ + 3ab(3) + b³ = 27
(a³ + b³) + 9ab = 27
279 + 9ab = 27
9ab = 27 - 279
9ab = -252
ab = -252/9
ab = -28