Question

AYÚDENME Un agricultor desea comprar una hacienda de forma rectangular que limita, por uno de sus lados con un rio. El vendedor tiene como regla vender solo haciendas cuyos otros 3 lados sumen 2300 m. 1. Determine la función que modelice el área máxima 2. ¿Cuál es la máxima área que puede escoger el comprador?

Answer 1

Respuesta:

$A' = 2300 - 4b$

A = 661, 250 m²

Explicación paso a paso:

Primero, siempre que se trabaja con optimización, hay una ecuación o función de restricción y otra que es la que se optimizará, hay que saber qué representan esos 2300 m, es el perímetro o contorno de la hacienda, del terreno de forma rectangular, entonces, la ecuación en cuestión es la del perímetro de un rectángulo

$P = 2b + 2h$

Pero, uno de los lados limita con un río, por lo tanto ya está ocupado, así que solo quedan tres lados a limitar, como no se sabe si es de la base (largo) o del ancho (alto), se puede restar 1 de los 2 que hay en la ecuación, yo elegiré eliminarlo del alto

$P = 2b + h$

Y todo eso es igual a 2300

2300 = 2b + h

Esa es la ecuación que restringe la situación, pues no pueden ser más de 2300 m, la que hay que optimizar es la del área

$A = bh$

Entonces, primero despejamos alguno de los términos en la ecuación de restricción para luego colocarlo en la de optimización y de esta forma tener una expresión en términos de una sola variable, yo escogeré despejar h

2300 - 2b = h

Lo sustituimos en la ecuación del área

A = b(2300 - 2b)

A = 2300b - 2b²

De ahí lo que se hace es derivar

Función que modela el área máxima

$A' = 2300 - 4b$

Como se busca un máximo, hay que buscar puntos críticos, lo cual se hace al igualar a 0

0 = 2300 - 4b

Se despeja b

- 2300 = - 4b

- 2300 / - 4 = b

575 = b

Se comprueba si es un máximo, tomando un valor menor y un valor mayor a 575 y sustituyéndolos por b en la derivada, yo usaré 574 y 576, lo importante es el signo del resultado, no el valor numérico

A'(574) = 2300 - 4(574) = +4

A'(576) = 2300 - 4(576) = -4

Como antes del 574 es positivo el resultado (la función crece) y después es negativo (la función decrece), entonces efectivamente es un máximo

2. El área máxima se calcula encontrando el valor del alto a partir del valor de la base, tenemos la siguiente ecuación

2300 - 2b = h

Sustituimos b por 575

2300 - 2(575) = h

2300 - 1150 = h

h = 1150

Ahora hay que calcular el área máxima

A = bh

A = (575 m)(1150 m)

A = 661, 250 m²