Question

los puntos A (-5,2) y C (3,-4) son extremos de la diagonal de un cuadrado.el perimetro de este cuadrado es:

Answer 1

Los dos lados del cuadrado y la diagonal forman triángulo rectángulo isósceles (pues los dos catetos son iguales por ser  lados de un cuadrado). Así que si el lado del cuadrado es L y la diagonal es D se verifica, aplicando Pitágoras que

                                              $D^2 = L^2+L^2$                            [1]

Para hallar L nos hace falta la diagonal, que es la distancia entre los dos puntos dados.

Cálculo de la diagonal:

La distancia entre los dos puntos

                                         $\displaystyle\ P(x_0. y_0) \ y \ Q(x_1, y_1)$

viene dada por la expresión

                               $\displaystyle\ d(P,Q) = \sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$

Luego, en el caso que nos ocupa tenemos que

                $\displaystyle\ d(A,C) = \sqrt{(3-(-5))^2+(-4-2)^2} = \sqrt{64+36} = 10$

Y sustituyendo en [1],

                                       $10^2 = L^2 + L^2 = 2L^2$

                                                 $\displaystyle\ L^2 = \frac{100}{2} \\\\L = \frac{10}{\sqrt{2}}$

y racionalizando,

                                           $\displaystyle\ L=\frac{10\sqrt{2} }{2} = 5\sqrt{2}$

Luego el perímetro del cuadrado es

                                                            $\boxed {20\sqrt{2} }$