Question

En un triángulo ABC, el ángulo B mide 64º y el ángulo C mide 72º . La bisectriz interior overline CD corta a la altura BH y a la bisectriz overline BM en y Q respectivamente. Hallar la diferencia entre el mayor y menor ángulo del triángulo PBQ.

Answer 1

Respuesta:

$\angle \ BQC-\angle \ PBQ=98^\circ$

Explicación paso a paso:

Llevando toda la información a una figura, tenemos primeramente que identificar el ángulo mayor y menor del triángulo PBQ (ver figura... espero haber interpretado bien los datos, porque están incompletos)

El menor va ser

     $\angle \ PBQ$

y el mayor es

     $\angle \ BQC$

Ahora bien, este último forma parte del triángulo BQC, cuyos ángulos restantes son las bisectrices trazadas en los puntos B y C; por tanto, dichos ángulos vale la mitad de los ángulos dados.

                  $\angle \ QBC = \dfrac{64^\circ}{2}=32^\circ\hspace{40} \angle \ BCQ=\dfrac{72^\circ}{2}=36^\circ$

Como la suma de los tres ángulos de un triángulo siempre es 180°...

                          $\angle \ BQC+\angle \ QBC+\angle \ BCQ=180^\circ\\\\\angle \ BQC+32^\circ+36^\circ=180^\circ\\\\\angle \ BQC=112^\circ$

El ángulo menor, lo vamos a calcular como la diferencia entre

                          $\angle \ PBQ=\angle \ QBC-\angle \ HBC$

Siendo este último el perteneciente al triángulo rectángulo BCH, y cuyo valor es

                          $\angle \ HBC=90^\circ-\angle \ BCH\\\\\angle \ HBC=90^\circ-72^\circ=18^\circ$

Así la diferencia es:

                          $\angle \ PBQ=32^\circ -18^\circ=14^\circ$

Finalmente la diferencia entre el ángulo mayor y menor es

                           $\angle \ BQC-\angle \ PBQ=112^\circ -14^\circ\\\\\angle \ BQC-\angle \ PBQ=98^\circ$

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(Con tanta letra, espero no haberme equivocado; el procedimiento es el correcto... pero revisa los resultados      XD)

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Espero que te sea de ayuda

Saludos